• 2.47
  • 7‑ci sinif
  • Həndəsə

Üçbucaqların konqruyentliyinin ikinci əlaməti

Bir tərəfi və onun iki ucundakı bucaqları bilsən, üçbucağı tam bilirsən: iki şüa yalnız bir nöqtədə kəsişir. Buna BTB — Bucaq, Tərəf, Bucaq əlaməti deyilir.

Bu dərsdə

  • tərəfin niyə iki bucağın arasında olmalı olduğunu şüaların kəsişməsi ilə izah edəcəksən;
  • işarələrə baxıb TBT ilə BTB‑ni fərqləndirəcək, uyğun təpələri düzgün yazacaqsan;
  • bucaqlardan biri qarşıda olanda bucaqların cəmi ilə BTB‑yə keçəcək və mühakiməni addım‑addım yazacaqsan.
  • tərəf
  • birinci bitişik bucaq
  • ikinci bitişik bucaq
  • qarşı bucaq
KLM üçbucağının bir tərəf və iki bitişik bucaqla qurulmasıKL tərəfi 7 sm. K-dan 58 dərəcəlik, L-dən 47 dərəcəlik şüa çəkilir. Şüalar yalnız M nöqtəsində kəsişir; M bucağı 75 dərəcə olur.7 sm58°47°75°KLM
  1. KL = 7 sm tərəfini çək.
  2. K təpəsində KL ilə 58°, L təpəsində 47° bucaq əmələ gətirən şüalar çək (eyni tərəfə).
  3. Şüalar yalnız bir nöqtədə — M‑də kəsişir. Üçbucaq hazırdır: ∠M = 180° − 58° − 47° = 75°.
  1. Nə bərkidilib?
  2. Qayda
  3. TBT, yoxsa BTB?
  4. Uyğunluq
  5. Əsaslandır
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Üçbucağı nə «bərkidir»?

Yada sal: TBT‑də iki tərəf və onların arasındakı bucaq üçbucağı müəyyən edirdi. İndi başqa dəst yoxlayaq. KL = 7 sm tərəfi yerində bərkidilib. Elementləri bir‑bir əlavə et və bax: üçüncü təpə M nə vaxt tək olur?

Nə verilib?
Nə bərkidilib: KL tərəfi, bucaqlar və üçüncü təpəKL tərəfi 7 sm-dir. Seçimə görə: yalnız tərəf (üçüncü təpə istənilən yerdə), tərəf və K bucağı (M şüa üzərində harada olduğu bilinmir), tərəf və iki bitişik bucaq (şüalar yalnız M-də kəsişir), yalnız üç bucaq (eyni formalı iki fərqli üçbucaq).???7 sm58°M₁M₂M₃7 sm58°47°M7 smL′MM′4,2 sm7 smKL

M istənilən yerdə ola bilər.Bir tərəf üçbucağı müəyyən etmir: KL üzərində sonsuz sayda müxtəlif üçbucaq qurmaq olar.

M şüa üzərindədir, amma harada?K‑da 58° bucaq M‑i bir şüaya gətirdi. M₁, M₂, M₃ — hamısı uyğundur, üçbucaqlar isə fərqlidir.

M yeganədir — üçbucaq müəyyəndir.L‑dəki 47° ikinci şüanı verir. İki şüa yalnız bir nöqtədə kəsişir, ona görə KM, LM və ∠M = 75° də müəyyən olur.

Forma eyni, ölçü fərqli.58°, 47° və 75° bucaqlı həm KL = 7 sm, həm KL′ = 4,2 sm olan üçbucaq var. Bucaqlar təkbaşına kifayət deyil: ən azı bir tərəf lazımdır.

Nəticə: bir tərəf və onun iki ucundakı bucaqlar üçbucağı kilidləyir. Bu bucaqlara tərəfə bitişik bucaqlar deyilir.

2 · Qayda

İkinci əlamət: BTB

II əlamət

Bir üçbucağın bir tərəfi və ona bitişik iki bucağı uyğun olaraq digər üçbucağın bir tərəfi və ona bitişik iki bucağına konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir.

AB ≅ DE, ∠A ≅ ∠D, ∠B ≅ ∠E ⇒ ΔABC ≅ ΔDEF

Dərslikdə ona BTB (Bucaq, Tərəf, Bucaq) əlaməti də deyilir: hərflərin sırası elementlərin üçbucaqdakı sırasıdır — tərəf iki bucağın arasındadır.

Bucaq, tərəf, bucaq: tərəf iki bitişik bucağın arasındadırAB tərəfi mavi və bir cizgi ilə, A bucağı narıncı bir qövslə, B bucağı lime iki qövslə işarələnib. C bucağı AB tərəfinin qarşısındadır, qırmızı qırıq qövslə göstərilib.ABCbucaqtərəfbucaqqarşı bucaq
AB‑yə bitişik bucaqlar onun uclarındakı ∠A və ∠B‑dir. ∠C AB‑nin qarşısındadır: o, AB‑yə bitişik deyil.

Niyə doğrudur?

ΔDEF‑i elə qoyaq ki, DE AB‑nin üzərinə düşsün (D → A, E → B). ∠D = ∠A olduğuna görə DF şüası AC şüasının üzərinə düşür, ∠E = ∠B olduğuna görə EF şüası BC‑nin üzərinə. İki şüa yalnız bir nöqtədə kəsişir, deməli F C‑nin üzərinə düşür: üçbucaqlar üst‑üstə düşür.

Bitişik bucaq

Tərəfə bitişik bucaqlar onun iki ucundakı bucaqlardır. Hər tərəfin iki bitişik bucağı və bir qarşı bucağı var.

Üç bucaq azdır

B, B, B ✗

Kəşfdəki son hal: bucaqlar formanı verir, ölçünü yox.

3 · Fərqləndir

TBT, yoxsa BTB?

Hər üç şəkildə eyni üçbucaq var, yalnız işarələr fərqlidir. Cizgi bərabər tərəfi, qövs bərabər bucağı göstərir. İşarələri üçbucağın ətrafında sıra ilə oxu.

T, B, T: bucaq iki işarəli tərəfin arasındaİki tərəf bir və iki cizgi ilə, onların arasındakı bucaq bir qövslə işarələnib.TTB
a) T – B – T → I əlamət (TBT)İşarəli bucaq iki işarəli tərəfin arasındadır.
B, T, B: tərəf iki işarəli bucağın arasındaBir tərəf bir cizgi ilə, onun iki ucundakı bucaqlar bir və iki qövslə işarələnib.TBB
b) B – T – B → II əlamət (BTB)İşarəli tərəf iki işarəli bucağın arasındadır.
B, B, T: bucaqlardan biri tərəfin qarşısındaBir tərəf bir cizgi ilə, onun bir ucundakı bucaq bir qövslə, qarşısındakı bucaq iki qırmızı qövslə işarələnib.TBB?
c) B, B, T: əvvəl 180°, sonra BTBQırmızı bucaq tərəfin qarşısındadır. Üçüncü bucaq «?» bucaqların cəmindən bərabər çıxır, sonra tərəf iki bərabər bucağın arasında olur.

Yoxlama ardıcıllığı

  1. Bərabər tərəfi tap (cizgi).
  2. Onun iki ucundakı bucaqlara bax: hər ikisi işarəlidirsə — BTB.
  3. Bir bucaq tərəfin qarşısındadırsa, üçüncü bucağı 180°‑dən tap və yenə 2‑ci addıma qayıt.

4 · Uyğunluq

Təpələri işarələrdən oxu

Nümunə 1Güzgü surəti

Şəkildəki işarələrə görə üçbucaqların konqruyentliyini yazın və bunun nəticəsində hansı tərəflərin və bucaqların konqruyent olduğunu göstərin.

CDE üçbucağı və onun güzgü kimi çevrilib döndərilmiş surətiCDE-də CE tərəfi bir cizgi, C bucağı bir qövs, E bucağı iki qövslə işarələnib. Sağdakı üçbucaqda soldan sağa P, Q, N təpələri var; NP bir cizgi, N bucağı bir qövs, P bucağı iki qövslə işarələnib.CDENQP
  1. Bir cizgi: CE ≅ NP. Bu tərəfə bitişik bucaqlar ∠C, ∠E və ∠N, ∠P işarəlidir — II əlamət (BTB).
  2. Bir qövs: ∠C ≅ ∠N, deməli C ↔ N. İki qövs: ∠E ≅ ∠P, deməli E ↔ P.
  3. Qalan təpələr: D ↔ Q. Hərfləri uyğunluq sırası ilə yaz.

    ΔCDE ≅ ΔNQP

  4. Yazılışdan oxu: CD ≅ NQ, DE ≅ QP, ∠D ≅ ∠Q.

Sağdakı üçbucağın hərflərini soldan sağa oxusaq, ΔPQN alınar — bu səhvdir: P E‑yə yox, C‑yə uyğun gələrdi.

5 · Əsaslandır

Mühakiməni dərslikdəki kimi yaz

Hər təsdiqin yanında səbəbi yazılır: «şərtə görə», «ortaq tərəf», «bucaqların cəmi 180°‑dir», «II əlamətə (BTB) görə». Bərabər elementlərdən biri çox vaxt şəkildə gizlənir.

Nümunə 2Üst‑üstə düşən üçbucaqlar

A, D, E, C nöqtələri bir düz xətt üzərində bu ardıcıllıqla yerləşir, B nöqtəsi isə bu düz xətdən kənardadır. AB = CB, ∠BAE = ∠BCD və ∠ABD = ∠CBE‑dir. BD = 5,2 sm olarsa, BE‑ni tapın.

Üst-üstə düşən ABE və CBD üçbucaqlarıA, D, E, C bir düz xətt üzərindədir, B ondan kənardadır. AB və CB bir cizgi ilə, A və C bucaqları bir qövslə, ABD və CBE bucaqları iki qövslə işarələnib. BD 5,2 sm-dir.BACDE5,2
  1. TəsdiqSəbəb
  2. AB = CBşərtə görə
  3. ∠BAE = ∠BCDşərtə görə
  4. ∠ABE = ∠ABD + ∠DBE = ∠CBE + ∠DBE = ∠CBD∠ABD = ∠CBE (şərt), ∠DBE hər ikisinə əlavə olunur
  5. ΔABE ≅ ΔCBDII əlamətə (BTB) görə: AB tərəfi və ona bitişik ∠A, ∠ABE
  6. BE = BD = 5,2 smkonqruyent üçbucaqların uyğun tərəfləri (A ↔ C, B ↔ B, E ↔ D)

BE = 5,2 sm

Nümunə 3Tərəf aradakı deyil

MNP və XYZ üçbucaqlarında MN = XY = 8 sm, ∠M = ∠X = 72°, ∠P = ∠Z = 49°. Üçbucaqlar konqruyentdirmi? YZ = 10,1 sm olarsa, NP‑ni tapın.

MNP və XYZ üçbucaqları: bərabər tərəf, ona bitişik bir bucaq və qarşı bucaqMN və XY 8 sm-dir. M və X bucaqları 72 dərəcə, P və Z bucaqları 49 dərəcədir; P və Z tərəfin qarşısındadır. N və Y bucaqları sual işarəsi ilə göstərilib.72°49°?MNP8 sm72°49°?XYZ8 sm
  1. TəsdiqSəbəb
  2. ∠P MN‑in qarşısındadırMN‑ə bitişik bucaqlar ∠M və ∠N‑dir: BTB‑ni hələ tətbiq etmək olmaz
  3. ∠N = 180° − 72° − 49° = 59°üçbucağın daxili bucaqlarının cəmi 180°‑dir
  4. ∠Y = 180° − 72° − 49° = 59°eyni səbəbə görə, deməli ∠N = ∠Y
  5. ΔMNP ≅ ΔXYZII əlamətə (BTB) görə: MN = XY, ∠M = ∠X, ∠N = ∠Y
  6. NP = YZ = 10,1 smuyğun tərəflər (N ↔ Y, P ↔ Z)

Bəli; NP = 10,1 sm

6 · Diqqət

Tərəf eyni yerdə durmalıdır

«Bir tərəf və iki bucaq bərabərdir» demək hələ azdır. Aşağıdakı iki üçbucaqda eyni ədədlər var: 6 sm, 42° və 76°. Amma onlar konqruyent deyil.

Eyni ölçülər, tərəf fərqli yerdə: ABC və GHK konqruyent deyilHər iki üçbucaqda 6 sm-lik tərəf, 42 və 76 dərəcəlik bucaqlar var. ABC-də 6 sm-lik AB tərəfi 42 və 76 dərəcəlik bucaqların arasındadır. GHK-da GH tərəfi 42 və 62 dərəcəlik bucaqların arasındadır, 76 dərəcəlik K bucağı isə onun qarşısındadır. Üçbucaqların ölçüləri fərqlidir.42°76°62°42°62°76°ABCGHK6 sm6 sm
ABC‑də AB 42° və 76°‑nin arasındadır. GHK‑da GH 42° və 62°‑nin arasındadır, 76° isə onun qarşısındadır. Ona görə AC ≈ 6,6 sm, GK isə ≈ 5,5 sm‑dir.

Səhv

istənilən tərəf + iki bucaq

Bərabər tərəf bir üçbucaqda bucaqların arasında, o birində bucaqlardan birinin qarşısında ola bilər.

Düz

uyğun bucaqlara bitişik tərəf

Hər iki üçbucaqda tərəf uyğun bucaqların arasında olmalıdır. Lazım olsa, əvvəl 180° ilə üçüncü bucağı tap.

Səhv

«II əlamətə görə» TBT üçün

İki tərəf və aradakı bucaq birinci əlamətdir.

Düz

TBT — I, BTB — II

Əlaməti adı ilə yaz: I əlamət (TBT), II əlamət (BTB).

7 · Həyatda

Sahildən qayığa nə qədər var?

Sahildə S və T müşahidəçiləri bir‑birindən 900 m aralı dayanıb. Hər biri qayığa baxır və baxış xətti ilə sahil arasındakı bucağı ölçür: S‑də 68°, T‑də 57°. ST tərəfi və ona bitişik iki bucaq məlumdursa, qayığın yeri tək müəyyən olunur (BTB).

Sahildəki iki müşahidəçi qayığın yerini tapırS və T müşahidəçiləri sahildə bir-birindən 900 metr aralıdır. S-dən qayığa baxış xətti sahillə 68, T-dən baxış xətti 57 dərəcəlik bucaq əmələ gətirir. Xətlər qayığın yerində, Q nöqtəsində kəsişir; SQ təxminən 920 metrdir.68°57°Q≈ 920 mST900 m
Dərslikdəki Praktik iş kimi: 1 sm = 100 m miqyasla ST = 9 sm çək, uclarında 68° və 57° bucaq qur. Şüaların kəsişməsinə qədər SQ ≈ 9,2 sm ölçülür, yəni qayıq S‑dən təxminən 920 m aralıdır.

Başqa bir dəstə müşahidəçi eyni 900 m, 68° və 57° ilə ölçsə, eyni nöqtəni tapacaq: BTB‑yə görə onların üçbucaqları konqruyentdir. Xəritəçilər və dənizçilər nöqtənin yerini məhz belə — məlum bir məsafə və iki bucaqla tapırlar.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ABC və DEF üçbucaqlarında AB = DE. II əlaməti (BTB) birbaşa tətbiq etmək üçün daha nə verilməlidir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! AB‑yə bitişik iki bucaq ∠A və ∠B‑dir.

    BTB‑də tərəfin iki ucundakı bucaqlar lazımdır. AB‑nin ucları hansı təpələrdir?

    Həllə bax

    AB‑yə bitişik bucaqlar ∠A və ∠B‑dir, DE‑yə bitişik bucaqlar ∠D və ∠E. «∠A = ∠D və AC = DF» I əlamətin (TBT) şərtidir, ∠C isə AB‑nin qarşısındadır.

  2. Asan

    KRT və LSB üçbucaqlarında KR = LS, ∠K = ∠L, ∠R = ∠S. Konqruyentliyi düzgün yazın.

    Sual 2 variantları

    Düzdür! K ↔ L, R ↔ S, T ↔ B.

    Bərabər bucaqlardan uyğunluğu tap: ∠K = ∠L, deməli K ilə L eyni yerdə durmalıdır.

    Həllə bax

    ∠K = ∠L ⇒ K ↔ L; ∠R = ∠S ⇒ R ↔ S; qalan T ↔ B. KR tərəfi ∠K və ∠R‑ə bitişikdir, BTB ödənilir: ΔKRT ≅ ΔLSB.

  3. Orta

    ABC və MNP üçbucaqlarında AB = MN = 9 sm, ∠A = ∠M = 38°, ∠C = ∠P = 77°. Hansı doğrudur?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 180° − 38° − 77° = 65°.

    Qarşı bucaq maneə deyil: üçüncü bucağı 180°‑dən hər iki bucağı çıxaraq tap.

    Həllə bax

    ∠B = 180° − 38° − 77° = 65°, ∠N də 65°. İndi AB = MN tərəfi ∠A = ∠M və ∠B = ∠N bucaqlarının arasındadır: II əlamətə (BTB) görə ΔABC ≅ ΔMNP. 103° yalnız 77°‑ni çıxaranda alınır.

  4. Orta

    ΔDEF ≅ ΔRST (BTB). DF = 7,4 sm, EF = 6 sm, RS = 8 sm. RST üçbucağının perimetrini tapın.

    Sual 4 variantları

    Düzdür! RS + ST + RT = 8 + 6 + 7,4.

    Hər üç tərəfi topla: ST və RT‑ni yazılışdan tap, RS‑i də unutma.

    Həllə bax

    ΔDEF ≅ ΔRST ⇒ ST = EF = 6 sm, RT = DF = 7,4 sm. P = 8 + 6 + 7,4 = 21,4 sm. 13,4 = 6 + 7,4 (RS unudulub), 42,8 isə iki üçbucağın perimetrlərinin cəmidir.

  5. Çətin

    ABC‑də AB = 5 sm, ∠A = 34°, ∠B = 88°. KLM‑də KL = 5 sm, ∠K = 34°, ∠M = 88°. Bu üçbucaqlar konqruyentdirmi?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! AB 34° və 88°‑nin, KL isə 34° və 58°‑nin arasındadır.

    Üçüncü bucaqları hesabla və bax: 5 sm‑lik tərəf hər iki üçbucaqda hansı bucaqların arasındadır?

    Həllə bax

    ∠C = 180° − 34° − 88° = 58°, ∠L = 180° − 34° − 88° = 58°, deməli ∠L ∠B‑yə yox, ∠C‑yə bərabərdir. AB 34° və 88° bucaqlarına bitişikdir, KL isə 34° və 58° bucaqlarına; 88°‑lik ∠M KL‑in qarşısındadır. Bərabər tərəf uyğun bucaqların arasında deyil — üçbucaqlar konqruyent deyil (Diqqət bölməsindəki kimi).

9 · Yekun

Üç nəticə

  • BTB — II əlamətBir tərəf və ona bitişik iki bucaq uyğun olaraq bərabərdirsə, üçbucaqlar konqruyentdir: iki şüa yalnız bir nöqtədə kəsişir.
  • Tərəf arada olmalıdırBucaqlardan biri qarşıdadırsa, əvvəl 180° ilə üçüncü bucağı tap; tərəf hər iki üçbucaqda uyğun bucaqların arasında olmalıdır.
  • Uyğunluğu işarədən oxuEyni qövs — uyğun təpələr. Yazılışda hərflər bu sıra ilə gəlir, soldan sağa oxumaqla yox.

Növbəti mövzu: 2.48 Üçbucaqların konqruyentliyinin üçüncü əlaməti (TTT) — üç tərəf.