• 2.46
  • 7‑ci sinif
  • Həndəsə

Üçbucaqların konqruyent­liyinin birinci əlaməti

İki üçbucağın konqruyent olduğunu bilmək üçün altı elementin hamısını yoxlamaq lazım deyil. Üç ölçü kifayətdir: iki tərəf və onların arasındakı bucaq.

Bu dərsdə

  • birinci əlaməti (TBT) ifadə edəcək və şəkildə tanıyacaqsan;
  • bucağın niyə məhz iki tərəfin arasında olmalı olduğunu əks‑nümunədə görəcəksən;
  • uyğun təpələri düzgün yazacaq və konqruyentliyi «təsdiq — səbəb» cədvəli ilə əsaslandıracaqsan.
ΔSTU‑nun surəti ΔPQR‑in üzərinə qoyulur Solda PQR üçbucağı, sağda döndərilmiş STU üçbucağı. PQ və ST bir cizgi ilə, PR və SU iki cizgi ilə, P və S bucaqları eyni qövslə işarələnib. STU‑nun qırıq xətli surəti sürüşüb S nöqtəsi P‑yə düşür, sonra dönür: T Q‑nun, U R‑in üstünə düşür. Aşağıda: PQ ≅ ST, bucaq P ≅ bucaq S, PR ≅ SU, yuxarıda nəticə ΔPQR ≅ ΔSTU. STU PQR PQ ≅ ST ∠P ≅ ∠S PR ≅ SU ΔPQR ≅ ΔSTU
  1. Menteşə
  2. Qayda
  3. Uyğunluq
  4. Əsaslandır
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

İki çubuq və bir menteşə

Uzunluğu 6 sm və 4 sm olan iki çubuğu P ucunda menteşə ilə birləşdirək. Çubuqlar dəyişmir, amma menteşəni açıb‑yığmaq olar. Bu iki tərəflə neçə müxtəlif üçbucaq qurmaq olar?

Menteşə: PQ = 6 sm, PR = 4 sm, aralarındakı bucaq seçilir PQ tərəfi üfüqi, 6 sm. PR tərəfi 4 sm‑dir və P nöqtəsində menteşə kimi fırlanır. Bucaq 30°, 50°, 90° və 120° olanda R nöqtəsinin dörd yeri solğun qırıq xətlərlə görünür. Seçilmiş bucaq üçün üçbucaq dolu çəkilir və QR‑in uzunluğu yazılır: 30°‑də təxminən 3,2 sm, 50°‑də 4,6 sm, 90°‑də 7,2 sm, 120°‑də 8,7 sm. R 30° ≈ 3,2 sm R 50° ≈ 4,6 sm R 90° ≈ 7,2 sm R 120° ≈ 8,7 sm PQ PQ = 6 sm PR = 4 sm
Solğun qırıq xətlər R‑in başqa mümkün yerləridir. Dolu üçbucaq seçilmiş bucağa uyğundur.
Aradakı bucaq ∠P neçə dərəcə olsun?

∠P = 30°. Menteşə az açılıb, R Q‑ya yaxındır. Ölçsək, QR ≈ 3,2 sm alınır.

∠P = 50°. R tək bir nöqtəyə düşür, QR ≈ 4,6 sm. Bu ölçülərlə kim qursa da, eyni üçbucaq alınacaq.

∠P = 90°. Düzbucaqlı üçbucaq alınır, QR ≈ 7,2 sm.

∠P = 120°. Kor bucaq: R P‑nin arxasına keçir, QR ≈ 8,7 sm — dördünün ən uzunu.

İki tərəf təkbaşına üçbucağı müəyyən etmir: bucaq dəyişdikcə QR də, üçbucağın forması da dəyişir. Amma aradakı bucağı bərkidən kimi R‑in yeri tək olur. Deməli, üçüncü tərəf də, qalan iki bucaq da artıq seçilmir — onlar özü alınır.

2 · Qayda

Birinci əlamət: TBT

I əlamət

Bir üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucaq uyğun olaraq digər üçbucağın iki tərəfinə və onlar arasındakı bucağa konqruyentdirsə, bu üçbucaqlar konqruyentdir.

PQ ≅ ST,∠P ≅ ∠S,PR ≅ SU⇒ ΔPQR ≅ ΔSTU

Bu əlamətə qısa olaraq TBT deyilir: Tərəf, Bucaq, Tərəf. Hərflərin sırası bucağın iki tərəfin arasında durduğunu xatırladır.

Üçbucağın iki tərəfi və onlar arasındakı bucağa görə qurulması Əvvəl PQ tərəfi çəkilir (mavi, bir cizgi), sonra P təpəsində bucaq qurulur (lime qövs, aradakı bucaq), bucağın şüası üzərində PR tərəfi ayrılır (narıncı, iki cizgi), sonda Q ilə R birləşdirilir: bu, qarşı tərəfdir. tərəfPQ aradakı bucaq tərəfR qarşı tərəf
Qurma ardıcıllığı: 1) PQ, 2) P‑də bucaq, 3) şüa üzərində PR, 4) QR. Dördüncü addımda seçim yoxdur.

Niyə doğrudur?

ΔSTU‑nu ΔPQR‑in üzərinə qoyaq: S‑i P‑yə, ST şüasını PQ şüasının üzərinə. ST = PQ olduğu üçün T Q‑nun üstünə düşür. ∠S = ∠P olduğu üçün SU şüası PR şüasının üzərinə düşür, SU = PR olduğu üçün U R‑in üstünə düşür. Üç təpə üst‑üstə düşdü — üçbucaqlar konqruyentdir. Yuxarıdakı hərəkətli şəkil məhz bunu göstərir.

Düzbucaqlı üçbucaqlar

Uyğun katetləri konqruyent olan iki düzbucaqlı üçbucaq konqruyentdir. Katetlər arasındakı bucaq hər ikisində 90°‑dir, yəni bu da TBT‑dir.

Yoxlama ardıcıllığı

1) Bərabər bucaq cütünü tap. 2) Bu bucağın hər iki tərəfinin uyğun tərəflərə bərabər olduğunu yoxla. 3) Yazılışa bucağın təpəsindən başla.

3 · Uyğunluq

Hərfləri işarələrə görə yaz

Əvvəlki dərsdən bilirik: ΔFGH ≅ ΔTVS yazılışında hərflərin yeri uyğunluğu göstərir — 1‑ci ilə 1‑ci, 2‑ci ilə 2‑ci, 3‑cü ilə 3‑cü. Üçbucaq döndərilib və ya güzgü kimi çevrilibsə, hərfləri soldan sağa oxumaq olmaz. Onları işarələrdən oxuyuruq.

ΔFGH və onun güzgü kimi çevrilib döndərilmiş surəti Solda FGH üçbucağı: FG bir cizgi, FH iki cizgi, F bucağı qövslə işarələnib. Sağda çevrilmiş üçbucaq; soldan sağa təpələri S, T, V. Qövs T‑dədir, bir cizgi TV‑də, iki cizgi TS‑də. FGH TVS
Sağdakı üçbucaq çevrilib: soldan sağa S, T, V gəlir, amma qövs T‑dədir.
Nümunə 1Uyğunluğu yaz

Şəkildə FG = 5 sm, FH = 3,5 sm, ∠F = 70° və işarələr göstərilib. Üçbucaqların konqruyentliyini düzgün yazın.

  1. Qövs: ∠F ≅ ∠T, deməli F ↔ T. Bucaq iki işarəli tərəfin arasındadır — bu, TBT‑dir.
  2. Bir cizgi: FG ≅ TV. F ↔ T olduğu üçün G ↔ V.
  3. İki cizgi: FH ≅ TS, deməli H ↔ S.
  4. Hərfləri eyni yerlərə yazırıq: F, G, H → T, V, S.

    ΔFGH ≅ ΔTVS

Bu yazılışdan qalan cütlər də oxunur: GH ≅ VS, ∠G ≅ ∠V, ∠H ≅ ∠S.

4 · Əsaslandır

Təsdiq və səbəb

Dərslikdəki həll kimi hər bərabərliyin yanına onun səbəbini yazırıq: «şərtə görə», «ortaq tərəfdir», «perpendikulyardır». Ən sonda əlaməti adlandırırıq. Çox vaxt üç elementdən biri şərtdə yazılmır, onu şəkildə tapmaq lazımdır.

Gizli bərabərliklər: iki üçbucağın ortaq tərəfi özü‑özünə bərabərdir; perpendikulyar düz bucaqlar verir; kəsişən düz xətlərin qarşılıqlı bucaqları bərabərdir; bərabər parçalara eyni parça əlavə etsək, cəmlər də bərabər olur.

CD parçasının orta nöqtəsindən çəkilmiş perpendikulyar üzərində E nöqtəsi Üfüqi CD parçası, ortası O. O‑dan yuxarı perpendikulyar çəkilib, üzərində E nöqtəsi. OC və OD bir cizgi ilə, EO ortaq tərəfdir, O‑da iki düz bucaq işarəsi var. E nöqtəsi C və D ilə birləşdirilib. ortaq CDO E
O — CD‑nin orta nöqtəsi, EO ⊥ CD.
Nümunə 2Ortaq tərəf və düz bucaqlar

CD parçasının orta nöqtəsi O‑dan CD‑yə perpendikulyar çəkilib və onun üzərində E nöqtəsi götürülüb. EC = ED olduğunu göstərin. EC = 6,8 sm olarsa, ED nəyə bərabərdir?

ΔEOC və ΔEOD
TəsdiqSəbəb
OC = ODO — CD‑nin orta nöqtəsidir (şərtə görə)
∠EOC = ∠EODhər ikisi 90°‑dir, çünki EO ⊥ CD
EO = EOortaq tərəfdir
ΔEOC ≅ ΔEODI əlamət (TBT): bucaqlar OC, OE və OD, OE tərəflərinin arasındadır
EC = EDkonqruyent üçbucaqların uyğun tərəfləridir (C ↔ D)

ED = EC = 6,8 sm

Düz xətt üzərində K, L, M, N və KPM, NSL üçbucaqları Bir düz xətt üzərində soldan sağa K, L, M, N; KL = MN = 2 sm, LM = 5 sm. K‑dan yuxarı KP, N‑dən yuxarı NS çəkilib (bir cizgi, 4 sm), K və N bucaqları bərabərdir (55°). P M ilə, S L ilə birləşdirilib. Aşağıda iki narıncı mötərizə: KM və NL, hər biri iki cizgi, 7 sm. KL MN PS KM = 7 smNL = 7 sm
KL = MN = 2 sm, LM = 5 sm; KP = NS = 4 sm; ∠PKM = ∠SNL = 55°.
Nümunə 3Gizli bərabər parçalar

K, L, M, N nöqtələri bir düz xətt üzərində bu ardıcıllıqla yerləşir: KL = MN = 2 sm, LM = 5 sm. Düz xəttin bir tərəfində KP = NS = 4 sm və ∠PKM = ∠SNL = 55° olan P və S nöqtələri götürülüb. PM = SL olduğunu göstərin.

ΔKPM və ΔNSL
TəsdiqSəbəb
KM = NLKM = KL + LM = 2 + 5 = 7 sm, NL = NM + ML = 2 + 5 = 7 sm
KP = NSşərtə görə (4 sm)
∠PKM = ∠SNLşərtə görə (55°)
ΔKPM ≅ ΔNSLI əlamət (TBT): K və N bucaqları bərabər tərəflərin arasındadır
PM = SLuyğun tərəflərdir (K ↔ N, P ↔ S, M ↔ L)

Şərtdə KM və NL haqqında heç nə deyilməyib — bu bərabərliyi parçaları toplayaraq özümüz tapdıq.

5 · Diqqət

Bucaq arada olmalıdır

Bəs iki tərəf və başqa bir bucaq bərabər olsa? Yoxlayaq: PQ = 6 sm, PR = 4 sm və ∠Q = 35°. Bu bucaq Q‑dadır, yəni PQ ilə PR‑in arasında deyil.

İki tərəf və aradakı olmayan bucaq: iki fərqli üçbucaq Q təpəsindən üfüqi şüa və 35°‑lik qırmızı qövs. QP = 6 sm (mavi, bir cizgi). P mərkəzli 4 sm radiuslu qövs şüanı iki nöqtədə kəsir: R1 və R2. PR1 və PR2 narıncı, iki cizgi ilə, hər biri 4 sm. QR1 təxminən 2,9 sm, QR2 təxminən 7,0 sm. 35° 6 sm R₁R₂ QR₁ ≈ 2,9 sm QR₂ ≈ 7,0 sm PQ
Qırmızı qövs aradakı olmayan bucaqdır. Pərgar qövsü şüanı iki yerdə kəsir.
Addım‑addım qur

Addım 1. PQ = 6 sm çəkdik və Q təpəsində 35°‑lik bucaq qurduq. Üçüncü təpə R bu şüanın üzərində olmalıdır.

Addım 2. PR = 4 sm olmalıdır: pərgarı P‑yə qoyub 4 sm radiusla qövs çəkirik. Qövs şüanı iki nöqtədə kəsir: R₁ və R₂.

Addım 3. İki üçbucaq alındı: ΔPQR₁ və ΔPQR₂. Hər ikisində PQ = 6 sm, PR = 4 sm, ∠Q = 35°, amma QR₁ ≈ 2,9 sm, QR₂ ≈ 7,0 sm. Bu üçbucaqlar konqruyent deyil.

TBT‑də bucaq P‑də, PQ ilə PR‑in arasında olardı — onda, menteşədə gördüyümüz kimi, R yeganə olardı. «İki tərəf və bir bucaq» kifayət deyil; bucağın yeri vacibdir.

Səhv

PQ, PR, ∠Q ⇒ ≅

∠Q PQ ilə PR‑in arasında deyil — yuxarıdakı iki üçbucaq buna əks‑nümunədir.

Düzgün

PQ, PR, ∠P ⇒ ≅

∠P məhz PQ və PR tərəflərinin arasındadır: bu, TBT‑dir.

Səhv

ΔFGH ≅ ΔSTV

Çevrilmiş üçbucağın hərfləri soldan sağa oxunub. Onda F ↔ S olur, amma qövs S‑də deyil.

Düzgün

ΔFGH ≅ ΔTVS

Əvvəl qövslü təpə (F ↔ T), sonra cizgilər (G ↔ V, H ↔ S).

Səhv

üç bucaq ⇒ ≅

Bucaqları 45°, 62°, 73° olan kiçik və böyük üçbucaq eyni formalıdır, amma ölçüləri fərqlidir.

Düzgün

tərəflər də lazımdır

TBT‑də iki tərəf ölçünü, aradakı bucaq isə formanı bərkidir.

6 · Həyatda

Pərgar niyə eyni çevrəni çəkir?

Pərgarın ayaqları və onların arasındakı bucaq radiusu müəyyən edir Pərgarın iki ayağı 12 sm‑dir, aralarındakı bucaq 30°. İynə A nöqtəsində, qələm B nöqtəsində. AB məsafəsi təxminən 6,2 sm‑dir və pərgar A ətrafında fırlananda bu radiusla çevrə çəkilir. 12 sm12 sm 30° AB ≈ 6,2
Ayaqlar və menteşədəki bucaq bərkidilib — iynə ilə qələmin arası (radius) dəyişmir.

Pərgarın ayaqları 12 sm və 12 sm-dir. Ayaqlar arasındakı bucaq 30°-də bərkidilib. İynə A‑da, qələm B‑dədir.

OAB üçbucağında iki tərəf və onların arasındakı bucaq məlumdur — TBT‑yə görə bu üçbucaq tam müəyyəndir. Deməli, AB məsafəsi də tək bir ədəddir: ölçsək, AB ≈ 6,2 sm. Eyni pərgarı eyni bucaqla açan iki şagird eyni radiuslu, yəni konqruyent çevrələr çəkəcək.

Usta da sınmış üçbucaq şüşəni əvəz etmək üçün bütün kənarları ölçmür: iki kənarı və onların arasındakı bucağı ölçmək kifayətdir. Yeni şüşə köhnəsi ilə konqruyent olacaq.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    DEK və D₁E₁K₁ üçbucaqlarında ∠E ≅ ∠E₁. TBT‑yə görə konqruyent olmaları üçün daha hansı iki bərabərlik lazımdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! ∠E məhz DE və EK tərəflərinin arasındadır.

    Yox. Bucağın tərəfləri onun təpəsindən çıxır: E bucağının tərəfləri DE və EK‑dır.

    Həllə bax

    TBT‑də bərabər bucaq iki bərabər tərəfin arasında olmalıdır. E təpəsindən DE və EK tərəfləri çıxır, ona görə DE ≅ D₁E₁ və EK ≅ E₁K₁ lazımdır. DK isə E bucağının qarşısındakı tərəfdir.

  2. Asan

    BO ≅ NA, OC ≅ AT və ∠O ≅ ∠A məlumdur. Hansı yazılış düzgündür?

    Cavab variantları

    Düzdür! B ↔ N, O ↔ A, C ↔ T.

    Yox. Bucaqdan başla: O ↔ A, sonra BO ≅ NA olduğu üçün B ↔ N.

    Həllə bax

    ∠O ≅ ∠A, deməli O ↔ A. BO ≅ NA‑dan B ↔ N, OC ≅ AT‑dən C ↔ T. Hərfləri eyni yerlərə yazırıq: ΔBOC ≅ ΔNAT.

  3. Orta

    HEC və ZOR üçbucaqlarında HE = ZO = 6 sm, EC = OR = 9 sm, ∠E = ∠O və ZR = 10 sm. ΔHEC‑nin perimetrini tapın.

    Cavab variantları

    Əla! HC = ZR = 10 sm, P = 6 + 9 + 10 = 25 sm.

    Yox. Üçbucaqlar TBT‑yə görə konqruyentdir, deməli HC = ZR. Perimetr bir üçbucağın üç tərəfinin cəmidir.

    Həllə bax

    ∠E HE və EC arasında, ∠O ZO və OR arasındadır, ona görə ΔHEC ≅ ΔZOR (TBT). Uyğunluq H ↔ Z, E ↔ O, C ↔ R, deməli HC = ZR = 10 sm. P = 6 + 9 + 10 = 25 sm.

  4. Orta

    RST və PUV düzbucaqlı üçbucaqlardır: ∠S = ∠U = 90°, RS = PU, ST = UV. Bu üçbucaqlar niyə konqruyentdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Düz bucaqlar «gizli» bərabər bucaqlardır.

    Yox. Şərtə bax: ∠S = ∠U = 90° verilib və bu bucaqlar bərabər katetlərin arasındadır.

    Həllə bax

    RS və ST katetləri S təpəsindən çıxır, PU və UV katetləri U təpəsindən. ∠S = ∠U = 90°, RS = PU, ST = UV — bu, TBT‑dir: ΔRST ≅ ΔPUV. Hipotenuzlar haqqında şərtdə heç nə deyilməyib; onların bərabərliyi nəticədir.

  5. Çətin

    Ayla deyir: «ABC və KLM üçbucaqlarında AB = KL = 7 sm, BC = LM = 5 sm, ∠A = ∠K = 40°. Deməli, TBT‑yə görə ΔABC ≅ ΔKLM». Ayla haqlıdırmı?

    Cavab variantları

    Düzdür! ∠A AB və AC tərəflərinin arasındadır, BC‑yə bitişik deyil.

    Yox. Bucağın yerinə bax: A təpəsindən AB və AC çıxır, BC yox.

    Həllə bax

    TBT üçün verilmiş bucaq verilmiş iki tərəfin arasında olmalıdır. AB və BC‑nin arasındakı bucaq ∠B‑dir, ∠A deyil. Bu, «Diqqət» bölməsindəki halın eynisidir: belə ölçülərlə iki müxtəlif üçbucaq qurmaq olar (AC ≈ 3,2 sm və ya AC ≈ 7,5 sm), ona görə konqruyentlik iddia etmək olmaz.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • TBTİki tərəf və onların arasındakı bucaq uyğun olaraq bərabərdirsə, üçbucaqlar konqruyentdir.
  • Bucaq aradaAradakı olmayan bucaqla iki fərqli üçbucaq qurmaq olar — o, əlamət deyil.
  • Təpədən başlaUyğunluğu qövslü təpədən və cizgilərdən oxu, hər təsdiqə səbəb yaz.

Növbəti mövzu: 2.47 Üçbucaqların konqruyent­liyinin ikinci əlaməti (BTB)