• 2.15
  • 7-ci sinif
  • Həndəsə

Mərkəzi simmetriya

Şəkli kalka kağızına köçür, kağızı O nöqtəsində sancaqla bərkit və yarım dövrə fırlat. A nöqtəsi hara düşür? O-nun o biri tərəfinə, eyni məsafəyə: O parçanın tam ortasında qalır.

Bu dərsdə

  • nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtəni pərgar və xətkeşlə quracaqsan;
  • parçanın, şüanın, düz xəttin və üçbucağın simmetriki qurub uzunluqların saxlandığını görəcəksən;
  • hansı fiqurların simmetriya mərkəzi olduğunu tapacaq və onu oxa nəzərən simmetriyadan ayıracaqsan.
  • verilmiş fiqur
  • simmetrik fiqur
  • mərkəz O
Ş. 1Yarım dönmə180°
ABC üçbucağının O nöqtəsi ətrafında yarım dönməsiKalka kağızına köçürülmüş ABC üçbucağı O nöqtəsi ətrafında 180° fırlanır. A, B və C nöqtələri yarımçevrələr cızıb A₁, B₁ və C₁ nöqtələrinə düşür. AA₁, BB₁ və CC₁ parçaları O-dan keçir və O hər birini yarıya bölür.180°A₁B₁C₁ABCO
  1. ABC üçbucağının izi O ətrafında 180° fırlanır; hər təpə öz yarımçevrəsini cızır.
  2. İz A₁B₁C₁ üçbucağı kimi O-nun o biri tərəfinə düşür.
  3. AA₁, BB₁, CC₁ O-dan keçir və O hər birini yarıya bölür (eyni çərtiklər).
  1. Yarım dönmə
  2. Simmetrik nöqtə
  3. Fiqurun simmetriki
  4. Simmetriya mərkəzi
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla
  9. Yekun

1 · Kəşf et

Nöqtə O ətrafında necə dönür?

Sancaq O-dadır, A nöqtəsi isə kalkanın üzərindədir. Kağızı fırladanda A, mərkəzi O olan çevrə üzrə hərəkət edir: OA uzunluğu dəyişmir. Dönmə bucağını seç və A-nın hara düşdüyünə bax.

Dönmə bucağı
Ş. 2A-nın yolu — çevrəmərkəz O
A nöqtəsinin O ətrafında dönməsiMərkəzi O olan çevrə A nöqtəsinin yoludur. Seçilmiş bucaq qədər dönmədə A nöqtəsi A′ nöqtəsinə düşür. Yalnız 180° dönmədə A₁ nöqtəsi AO düz xəttinin üzərində, O-nun o biri tərəfində olur.A′45°A′90°A′135°A₁180°AO

45°: A′ çevrənin üzərindədir, OA′ = OA. Amma A′ qırıq düz xəttin (AO-nun) üzərində deyil.

90°: OA′ OA-ya perpendikulyardır. A′ yenə AO düz xəttindən kənardadır.

135°: A′ düz xəttə yaxınlaşır, hələ üzərinə düşmür.

180° — yarım dönmə. A₁ AO düz xəttinin üzərinə, O-nun o biri tərəfinə düşür və OA₁ = OA. A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir, O isə AA₁-in ortasıdır.

Hər bucaqda OA′ = OA, çünki A çevrə üzrə gedir. Yalnız 180°-də A, O və A₁ bir düz xəttə düzülür. Bu nöqtəyə ad veririk.

2 · Qayda

Nöqtəyə nəzərən simmetrik nöqtə

Yadda saxla

O və A nöqtəsindən keçən düz xətt üzərində OA₁ ≅ OA şərtini ödəyən A₁ nöqtəsinə O nöqtəsinə nəzərən A nöqtəsi ilə simmetrik nöqtə deyilir. O nöqtəsi simmetriya mərkəzi adlanır.

OA₁ = OA

Başqa sözlə: A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir və O — AA₁ parçasının orta nöqtəsidir.

Ş. 3Qurma: xətkeş və pərgar
O-ya nəzərən A-ya simmetrik nöqtənin qurulmasıA və O-dan keçən düz xətt çəkilir. Mərkəzi O, radiusu OA olan çevrə həmin düz xətti ikinci dəfə A₁ nöqtəsində kəsir. OA₁ = OA.A₁OA₁ = OAAO
Pərgarın ucu O-da, açılışı OA-ya bərabərdir. Çevrə düz xətti iki nöqtədə kəsir: biri A, digəri A₁.
  1. A və O nöqtələrindən keçən düz xətti çək.
  2. Mərkəzi O-da, radiusu OA olan çevrə çək.
  3. Çevrə ilə düz xəttin ikinci kəsişmə nöqtəsi A₁-dir.

O özü-özünə simmetrikdir

O-nun O-ya nəzərən simmetriki O-nun özüdür: məsafə 0-dır.

Qarşılıqlıdır

A₁ A-ya simmetrikdirsə, A da A₁-ə simmetrikdir: yarım dönmə A₁-i yenidən A-ya qaytarır.

İki dəfə uzun

AA₁ = 2 · OA

Çünki AA₁ = OA + OA₁ və OA₁ = OA.

3 · Qayda

Fiqurun simmetrikini qururuq

Fiqurun simmetrikini qurmaq üçün onun əsas nöqtələrinin (ucların, təpələrin) simmetriklərini qurur, sonra onları eyni qaydada birləşdiririk. Fiquru seç.

Fiqur
Ş. 4Fiqur və onun simmetrikimərkəz O
Fiqurların O nöqtəsinə nəzərən simmetrikləriSeçilmiş fiqur mavi, onun O-ya nəzərən simmetriki narıncıdır. Uyğun nöqtələri birləşdirən qırıq xətlər O-dan keçir. Parça bərabər parçaya, şüa əks istiqamətli şüaya, düz xətt paralel düz xəttə, üçbucaq konqruyent üçbucağa çevrilir.ABA₁B₁5 sm5 smMNM₁N₁PQP₁Q₁aa₁ABCA₁B₁C₁ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁O

Parça: A və B-nin simmetrikləri A₁ və B₁-dir. AB parçası A₁B₁ parçasına çevrilir: hər ikisi 5 sm-dir.

Şüa: MN şüasının başlanğıcı M M₁-ə, N isə N₁-ə düşür. Alınan M₁N₁ şüası əks tərəfə yönəlir.

Düz xətt: P və Q-nun simmetriklərindən a₁ düz xətti keçir. O a-nın üzərində deyilsə, a₁ a-ya paraleldir.

Üçbucaq: təpələrin simmetrikləri A₁, B₁, C₁-dir. Alınan A₁B₁C₁ də üçbucaqdır və ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁.

Hər halda uyğun nöqtələri birləşdirən qırıq xətlər O-dan keçir və O onları yarıya bölür.

Xüsusiyyətlər

  • Mərkəzi simmetriyada məsafə saxlanılır.
  • Nöqtə nöqtəyə, düz xətt düz xəttə, şüa şüaya, parça özünə konqruyent parçaya çevrilir.
  • Fiqur özünə konqruyent fiqura çevrilir.
AB = A₁B₁

4 · Qayda

Fiqurun simmetriya mərkəzi

Yadda saxla

Fiqurun hər bir nöqtəsinə O nöqtəsinə nəzərən simmetrik nöqtə də fiqura aiddirsə, bu fiqura O nöqtəsinə nəzərən mərkəzi simmetrik fiqur deyilir və O fiqurun simmetriya mərkəzi adlanır.

Belə fiqur O ətrafında yarım dönmədə özünə çevrilir: iz fiqurun öz üzərinə düşür.

Fiquru yoxla
Ş. 5Mərkəzi varmı?
Fiqurun simmetriya mərkəziParaleloqramın və düzbucaqlının mərkəzi diaqonalların kəsişmə nöqtəsi, çevrənin mərkəzi onun mərkəzi, parçanın mərkəzi orta nöqtəsidir: fiqurun hər P nöqtəsinin simmetriki P₁ də fiqurdadır. Üçbucağın simmetriki onunla üst-üstə düşmür, P₁ üçbucaqdan kənara çıxır.ABCDPP₁ABCDPP₁QQ₁AA₁BB₁CC₁ABPP₁KLMPP₁üst-üstə düşmürO

Var: diaqonalların kəsişmə nöqtəsi. A C-yə, B D-yə simmetrikdir; AB tərəfindəki P nöqtəsinin simmetriki P₁ CD tərəfinə düşür.

Var: diaqonalların kəsişmə nöqtəsi. Düzbucaqlı da paraleloqramdır. Kvadratda da belədir.

Var: çevrənin mərkəzi. AA₁, BB₁, CC₁ diametrlərdir; çevrənin hər nöqtəsinin simmetriki yenə çevrədədir.

Var: parçanın orta nöqtəsi. A B-yə simmetrikdir, parçanın hər P nöqtəsi parçanın P₁ nöqtəsinə düşür.

Yoxdur. O-nu üçbucağın içində götürdük: simmetrik üçbucaq (qırıq) onunla üst-üstə düşmür, P₁ fiqurdan kənardadır. Hansı nöqtəni götürsək də belə olur.

Fiqurun mərkəzi varsa, yarım dönmədə fiqur öz yerinə düşür.

Düz xətt — var

Düz xəttin hər nöqtəsi onun simmetriya mərkəzidir.

Şüa — yoxdur

Yarım dönmədə şüa əks tərəfə yönəlir və özü ilə üst-üstə düşmür.

İki kəsişən düz xətt — var

Mərkəz onların kəsişmə nöqtəsidir.

5 · Hesabla

Simmetriya ilə ölçürük

Nümunə 1Üçbucağın simmetriki

ABC üçbucağında AB = 3 sm, BC = 4 sm, AC = 5 sm. O nöqtəsi üçbucaqdan kənardadır. O-ya nəzərən ABC-yə simmetrik üçbucağı qurun və onun perimetrini tapın.

Ş. 6ΔABC ≅ ΔA₁B₁C₁uzunluqlar sm ilə
ABC üçbucağına O-ya nəzərən simmetrik üçbucaqABC düzbucaqlı üçbucağının tərəfləri 3, 4 və 5 sm-dir. Təpələrin O-ya nəzərən simmetrikləri A₁, B₁, C₁ birləşdirilir; A₁B₁C₁ üçbucağının tərəfləri də 3, 4 və 5 sm-dir.ABCA₁B₁C₁345345O
  1. A, B, C-dən O-dan keçən düz xətlər çəkib OA₁ = OA, OB₁ = OB, OC₁ = OC olan A₁, B₁, C₁ nöqtələrini qeyd edirik.
  2. A₁, B₁, C₁-i birləşdiririk. Məsafə saxlanılır: A₁B₁ = 3 sm, B₁C₁ = 4 sm, A₁C₁ = 5 sm.
  3. P = 3 + 4 + 5 = 12 sm — ABC-nin perimetri ilə eyni.

    P(A₁B₁C₁) = 12 sm

Nümunə 2Yarı və tam

a) A və A₁ O-ya nəzərən simmetrikdir, OA = 3,5 sm. AA₁-i tapın. b) AA₁ = 9 sm olsa, OA₁ nəyə bərabərdir?

Ş. 7O — AA₁-in ortası
OA və AA₁ parçalarıA, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir. OA = OA₁ = 3,5 sm, AA₁ = 7 sm.AA₁O3,5 sm3,5 smAA₁ = 7 sm
  1. a) OA₁ = OA = 3,5 sm, deməli AA₁ = 3,5 + 3,5 = 7 sm.
  2. b) O AA₁-i yarıya bölür: OA₁ = 9 : 2 = 4,5 sm.

    7 sm; 4,5 sm

Nümunə 3Paraleloqramda perimetr

ABCD paraleloqramının diaqonalları O nöqtəsində kəsişir. AC = 10 sm, BD = 6 sm, AB = 4,5 sm. COD üçbucağının perimetrini tapın.

Ş. 8ΔAOB və ΔCODuzunluqlar sm ilə
Paraleloqramda AOB və COD üçbucaqlarıABCD paraleloqramının diaqonalları O-da kəsişir. AO = OC = 5 sm, BO = OD = 3 sm, AB = CD = 4,5 sm. COD üçbucağı AOB üçbucağının O-ya nəzərən simmetrikidir.ABCDO4,5534,553
  1. O paraleloqramın simmetriya mərkəzidir: C A-ya, D B-yə simmetrikdir. Deməli O AC və BD-nin ortasıdır: OC = 10 : 2 = 5 sm, OD = 6 : 2 = 3 sm.
  2. CD parçası AB-nin simmetrikidir, məsafə saxlanılır: CD = AB = 4,5 sm.
  3. P(COD) = 5 + 3 + 4,5 = 12,5 sm. ΔCOD ΔAOB-nin simmetrikidir, perimetrləri eynidir.

    12,5 sm

Nümunə 4Ədəd oxunda (xatırlatma)

Ədəd oxunda A nöqtəsi −1, O nöqtəsi 2 ədədinə uyğundur. O-ya nəzərən A-ya simmetrik A₁ nöqtəsi hansı ədədə uyğundur?

Ş. 9Eyni addımı bir də at
Ədəd oxunda simmetrik nöqtəA = −1, O = 2. A-dan O-ya addım +3-dür; O-dan bir də +3 atanda A₁ = 5 alınır.−2−10123456+3+3AOA₁
  1. A-dan O-ya addım: 2 − (−1) = 3, yəni sağa 3 vahid.
  2. O-dan eyni addımı bir də atırıq: 2 + 3 = 5.
  3. Yoxlama: O AA₁-in ortasıdır, (−1 + 5) : 2 = 2.

    A₁ = 5

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Mərkəzi simmetriya güzgü deyil

Səhv

O-dan keçən xəttə görə əks etdirmək
Səhv: düz xəttə nəzərən güzgü əksiABC üçbucağı O-dan keçən şaquli düz xəttə nəzərən əks olunub; alınan üçbucaq eyni hündürlükdə qalır. Bu mərkəzi simmetriya deyil.oxA′B′C′ABCO

Bu, oxa nəzərən simmetriyadır: fiqur eyni hündürlükdə qalır, sağ-sol yer dəyişir.

Düz

O ətrafında yarım dönmə
Düz: O nöqtəsinə nəzərən simmetriyaABC üçbucağının təpələri O-dan keçən düz xətlərlə o biri tərəfə köçürülüb; A₁B₁C₁ üçbucağı O-nun altında, «baş aşağı» yerləşir.A₁B₁C₁ABCO

Hər təpə O-dan keçib o biri tərəfə gedir: fiqur O-nun altına, «baş aşağı» düşür.

İki simmetriyanın fərqi
O nöqtəsinə nəzərənDüz xəttə (oxa) nəzərən
Yerində qalanbir nöqtə — Obütün ox
Kağızla nə edirikO ətrafında 180° fırladırıqox boyunca qatlayırıq
AA₁ parçasıO onun orta nöqtəsidirox onun orta perpendikulyarıdır (2.14)
Uzunluqlarsaxlanılırsaxlanılır

Orta nöqtə A₁ deyil

Səhv

OA = 4 sm ⇒ AA₁ = 4 sm

A₁-i AO-nun ortasına, yaxud O-ya qədər qoymaq olmaz.

Düz

OA = 4 sm ⇒ AA₁ = 8 sm

A₁ O-dan o biri tərəfdədir, ortada O qalır.

«Oxu varsa, mərkəzi də var»

Səhv

bərabəryanlı üçbucağın mərkəzi var

Onun simmetriya oxu var, amma heç bir üçbucağın simmetriya mərkəzi yoxdur.

Düz

ox və mərkəz ayrı-ayrı yoxlanır

Paraleloqramın mərkəzi var, amma (ümumi halda) oxu yoxdur.

Ş. 10Ox ≠ mərkəz
Ox və mərkəz eyni şey deyilBərabəryanlı üçbucağın simmetriya oxu var, simmetriya mərkəzi yoxdur. Paraleloqramın simmetriya mərkəzi (diaqonalların kəsişmə nöqtəsi) var, simmetriya oxu yoxdur.Oox varmərkəz yoxmərkəz varox yox

7 · Həyatda

Xalçada və hərflərdə

Mərkəzi simmetriya xalça, parça və divar kağızı naxışlarında, memarlıq bəzəklərində (məsələn, Naxçıvandakı Möminə Xatun türbəsinin naxışlarında) tez-tez görünür. Yoxlama həmişə eynidir: şəkli fikrən O ətrafında yarım dövrə fırlat.

Ş. 11Xalça medalyonu
Xalça medalyonuXalçanın ortasındakı səkkizbucaqlı medalyonda iki S şəkilli qarmaq və iki cüt romb var. Naxış O ətrafında yarım dönmədə özünə çevrilir: P rombu P₁ rombuna düşür. Güzgü əksində isə mavi romb lime romb üzərinə düşərdi, ona görə naxışın oxu yoxdur.PP₁
Yarım dönmədə mavi romb mavi romba, lime romb lime romba düşür: naxışın mərkəzi O-dur. Güzgüdə isə mavi romb lime rombun yerinə keçərdi — bu naxışın oxu yoxdur.
Ş. 12Hərflər
Simmetriya mərkəzi olan və olmayan hərflərYuxarı sırada N, Z, H, X hərfləri: ortalarındakı nöqtə ətrafında yarım dönmədə özlərinə çevrilirlər, mərkəzləri var. Aşağı sırada A, T, Y, L hərfləri: mərkəzləri yoxdur.varvarvarvaryoxyoxyoxyox
N və Z-in yalnız mərkəzi var, H və X-in həm mərkəzi, həm oxu var. A, T, Y-in oxu var, mərkəzi yox; L-in heç biri yoxdur.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    A₁ nöqtəsi O-ya nəzərən A-ya simmetrikdir, OA = 4 sm. AA₁ nə qədərdir?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! AA₁ = OA + OA₁ = 4 + 4 = 8 sm.

    O AA₁-in ortasıdır. O-dan A₁-ə qədər də 4 sm var.

    Həllə bax

    OA₁ = OA = 4 sm və A, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir: AA₁ = 4 + 4 = 8 sm.

  2. Asan

    Hansı fiqurun simmetriya mərkəzi yoxdur?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! Üçbucaq yarım dönmədə özü ilə üst-üstə düşmür.

    Bu fiqurun mərkəzi var (Ş. 5). Hansı fiqurun izi yarım dönmədən sonra kənara çıxır?

    Həllə bax

    Düzbucaqlının mərkəzi diaqonalların kəsişməsi, çevrənin — mərkəzi, parçanın — orta nöqtəsidir. Üçbucağın simmetriya mərkəzi yoxdur.

  3. Orta

    A və B nöqtələri O-ya nəzərən simmetrikdir, AB = 12 sm. OB nə qədərdir?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! O AB-ni yarıya bölür.

    AB parçasının bütövüdür. O onun harasındadır?

    Həllə bax

    Simmetrik nöqtələrdə O AB-nin orta nöqtəsidir: OB = 12 : 2 = 6 sm.

  4. Orta

    MN parçası 7 sm-dir. M₁N₁ onun O nöqtəsinə nəzərən simmetrikidir. M₁N₁ nə qədərdir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Mərkəzi simmetriyada məsafə saxlanılır.

    Simmetriya uzunluğu nə ikiləşdirir, nə yarıya bölür. Xüsusiyyət 1-i xatırla.

    Həllə bax

    Parça özünə konqruyent parçaya çevrilir: M₁N₁ = MN = 7 sm.

  5. Çətin

    ABCD paraleloqramının diaqonalları O-da kəsişir: AC = 14 sm, BD = 8 sm, AB = 6 sm. COD üçbucağının perimetri nə qədərdir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! 7 + 4 + 6 = 17 sm.

    Üçbucağın tərəfləri diaqonalların yarılarıdır, bütöv diaqonallar deyil.

    Həllə bax

    O mərkəzdir: OC = 14 : 2 = 7 sm, OD = 8 : 2 = 4 sm, CD = AB = 6 sm (CD AB-nin simmetrikidir). P = 7 + 4 + 6 = 17 sm.

  6. Çətin

    AB və A₁B₁ parçaları naməlum O nöqtəsinə nəzərən simmetrikdir (A₁ A-ya, B₁ B-yə simmetrikdir). O nöqtəsini necə tapmaq olar?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! O simmetrik nöqtələri birləşdirən parçanın ortasıdır.

    Hansı nöqtələr bir-birinə simmetrikdir? O məhz onların arasındadır.

    Həllə bax

    A və A₁ simmetrikdir, deməli O AA₁-in orta nöqtəsidir (BB₁-in də). A və B₁ simmetrik cüt deyil, AB-nin ortası isə fiqurun öz nöqtəsidir.

9 · Yekun

Üç nəticə

  • O — AA₁-in ortasıA, O, A₁ bir düz xətt üzərindədir və OA₁ = OA. Qurmaq üçün: düz xətt + mərkəzi O olan çevrə.
  • Uzunluqlar saxlanılırParça bərabər parçaya, fiqur konqruyent fiqura çevrilir; perimetr dəyişmir.
  • Mərkəz — yarım dönmədə özünə düşməkParaleloqram, düzbucaqlı, çevrə, parça — var; üçbucaq, şüa — yoxdur. Ox və mərkəz ayrı şeylərdir.

Növbəti mövzu: 2.16 İki düz xəttin üçüncü ilə kəsişməsindən alınan bucaqlar.