• 2.30
  • 7-ci sinif
  • Müxtəsər vurma düsturları

İkihədlilərin kvadrata yüksəldilməsi

Tərəfi 7 m olan kvadrat bağçanın hər tərəfini 3 m uzatdılar. Yeni sahə 7² + 3² = 58 m² olacaq? Yox — 100 m². Artıq 42 m² haradan gəlir? Cavab şəkildədir: iki 7 · 3 zolağı.

Bu dərsdə

  • (a + b)² və (a − b)² düsturlarını vurma ilə çıxaracaq və sahə şəkli ilə izah edəcəksən;
  • ikihədlinin kvadratını çoxhədli şəklində yazacaqsan: əmsallı, onluq kəsrli və qüvvətli hədlərlə;
  • düsturla ədədləri ağılda kvadrata yüksəldəcək, ifadəni sadələşdirəcək və tənlik həll edəcəksən.
Tərəfi a + b olan kvadrat dörd hissəyə bölünür Kvadratın tərəfi a və b parçalarından ibarətdir. İçində tərəfi a olan mavi kvadrat a², tərəfi b olan lime kvadrat b² və ölçüləri a ilə b olan iki narıncı düzbucaqlı ab var. Sağda a = 7, b = 3 üçün: 49 + 42 + 9 = 100. Altda düstur: (a + b)² = a² + 2ab + b². a b a b a² b² ab ab a = 7b = 3 49 + 42 + 9 = 100 (a + b)² = a² + 2ab + b²
  1. Kvadrat sahədir
  2. Cəmin kvadratı
  3. Fərqin kvadratı
  4. Hesabla
  5. Ağılda
  6. Diqqət
  7. Düsturla işlər
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat — özünə hasildir

Ədədi kvadrata yüksəltmək onu özünə vurmaq deməkdir: 9² = 9 · 9 = 81. Şəkildə bu, tərəfi 9 olan kvadratın sahəsidir. Bu qayda hərfi ifadələr üçün də ödənir: (a + b)² = (a + b)(a + b) — iki eyni ikihədlinin hasili.

Tərəfi iki hissədən ibarət olan kvadrata bax. Hissələrin kvadratlarını toplasaq, bütün sahəni alarıqmı?

Kvadratın tərəfini seç
(5 + 2)² = 7² = 49: 25 + 10 + 10 + 4 5 2 5 2 25 10 10 4 25 + 10 + 10 + 4 = 49 (6 + 3)² = 9² = 81: 36 + 18 + 18 + 9 6 3 6 3 36 18 18 9 36 + 18 + 18 + 9 = 81 (7 + 1)² = 8² = 64: 49 + 7 + 7 + 1 7 1 7 1 49 7 7 1 49 + 7 + 7 + 1 = 64

(5 + 2)² = 7² = 49. Kvadratlar: 25 + 4 = 29 — 20 çatmır. Çatmayan iki narıncı zolaqdır: 10 + 10 = 2 · 5 · 2.

(6 + 3)² = 9² = 81. Kvadratlar: 36 + 9 = 45 — 36 çatmır: 18 + 18 = 2 · 6 · 3.

(7 + 1)² = 8² = 64. Kvadratlar: 49 + 1 = 50 — 14 çatmır: 7 + 7 = 2 · 7 · 1.

Hər xana 1 kvadrat vahiddir. Mavi və lime kvadratlardan başqa həmişə iki eyni narıncı düzbucaqlı qalır.

Deməli, cəmin kvadratı kvadratların cəminə bərabər deyil. Kvadratlara hər dəfə iki hissənin hasilinin iki misli əlavə olunmalıdır.

2 · Qayda

Cəmin kvadratı

İndi eyni şeyi hərflərlə, çoxhədlilərin vurulması qaydası ilə edək: birinci mötərizənin hər həddini ikincinin hər həddinə vururuq.

(a + b)² = (a + b)(a + b)     = a · a + a · b + b · a + b · b     = a² + ab + ab + b²     = a² + 2ab + b²

Yadda saxla

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Dərslikdə: «iki ifadənin cəminin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin cəminə bərabərdir». Dərslik eyni düsturu a² + b² + 2ab kimi yazır — hədlərin yeri dəyişəndə cəm dəyişmir.

Dörd hasil — dörd sahə
×ab
aa²ab
babb²

Cədvəl dərsin əvvəlindəki böyük kvadratın özüdür: sətir və sütun başlıqları tərəflər, xanalar sahələrdir. Dərslikdəki qeyd kimi: böyük kvadratın sahəsi onu əmələ gətirən düzbucaqlıların və kvadratların sahələri cəminə bərabərdir.

Hasilin iki misli

2ab = 2 · a · b

Orta hədd iki eyni düzbucaqlıdır, ona görə hasil iki dəfə götürülür.

Tam kvadrat

a² + 2ab + b²

Belə üçhədliləri dərslik tam kvadrat adlandırır: onlar ikihədlinin kvadratına bərabərdir.

3 · Qayda

Fərqin kvadratı

(a − b)²-ni də özünə vururuq. Burada ikinci hədd −b-dir: işarəsi ilə birlikdə vurulur.

(a − b)² = (a − b)(a − b)     = a · a + a · (−b)       + (−b) · a + (−b) · (−b)     = a² − ab − ab + b²     = a² − 2ab + b²

Yadda saxla

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Dərslikdə: «iki ifadənin fərqinin kvadratı bu ifadələrin kvadratları cəmi ilə onların hasilinin iki mislinin fərqinə bərabərdir». Son hədd müsbətdir: (−b) · (−b) = b².

İşarəli dörd hasil
×a−b
aa²−ab
−b−ab+b²
(a − b)² sahə şəklində: a² − ab − ab + b² Tərəfi a olan kvadratdan üstdəki b enli zolaq (ab) və sağdakı b enli zolaq (ab) çıxılır. Sağ üst küncdəki b² kvadratı iki dəfə çıxıldığı üçün bir dəfə geri əlavə olunur. Qalan kvadratın tərəfi a − b-dir: (a − b)² = a² − 2ab + b². − ab − ab + b² (a − b)² a − b b b a − b a
Mavi kvadrat a²-dir. Ondan iki ab zolağını çıxırıq. Künc b² hər iki zolaqda olduğu üçün iki dəfə çıxılıb — bir dəfə geri əlavə edirik. Qalan kvadratın tərəfi a − b-dir. Şəkil a > b > 0 üçündür, düstur isə istənilən ədədlər üçün doğrudur.

Sıra fərq etmir

(b − a)² = (a − b)²

b − a = −(a − b), mənfi ədədin kvadratı isə müsbətdir: (1 − k)² = (k − 1)² = k² − 2k + 1.

Cəm və fərq

± 2ab

İki düstur yalnız orta həddin işarəsi ilə fərqlənir. a² və b² hər ikisində müsbətdir.

4 · Hesabla

İkihədlinin kvadratını çoxhədli kimi yaz

Düstur hər cür ifadəyə işləyir: a və b-nin yerində ədəd, birhədli, kəsrli və ya qüvvətli hədd ola bilər. Həmişə eyni dörd addım:

  1. Birinci (a) və ikinci (b) ifadəni tap — bütöv, əmsalı ilə birlikdə.
  2. Birincinin kvadratı: əmsal da, hərf də kvadrata yüksəlir.
  3. Hasilin iki misli: 2 · a · b; cəmdə «+», fərqdə «−».
  4. İkincinin kvadratı: həmişə «+».
Nümunə 1Cəmin kvadratı

(y + 7)² ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

  1. a = y, b = 7.
  2. y²; 2 · y · 7 = 14y; 7² = 49.
  3. Yoxlama: y = 1 olsun. (1 + 7)² = 64 və 1 + 14 + 49 = 64 — eynidir.

    (y + 7)² = y² + 14y + 49

Nümunə 2Əmsallı hədlər

(5a − 2b)² ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Birinci ifadə 5a, ikinci 2b; fərqin kvadratıdır.
  2. (5a)² = 25a² — 5 də kvadrata yüksəlir.
  3. 2 · 5a · 2b = 20ab, fərqdə çıxılır.
  4. (2b)² = 4b².

    (5a − 2b)² = 25a² − 20ab + 4b²

Nümunə 3Onluq kəsr

(0,3x + 2)²

  1. (0,3x)² = 0,09x² (0,3 · 0,3 = 0,09).
  2. 2 · 0,3x · 2 = 1,2x; 2² = 4.

    0,09x² + 1,2x + 4

Nümunə 4Qüvvətli hədd

(a³ − 2a)²

  1. (a³)² = a⁶ — qüvvətin qüvvətində üstlər vurulur.
  2. 2 · a³ · 2a = 4a⁴; (2a)² = 4a².

    a⁶ − 4a⁴ + 4a²

Birinci hədd mənfidirsə. (−p − 3)² = (−(p + 3))² = (p + 3)² = p² + 6p + 9. Mötərizədən çıxarılan «−» kvadratda itir, çünki (−1)² = 1.

5 · Ağılda hesabla

Böyük ədədin kvadratı — kalkulyatorsuz

Ədədi yuvarlaq ədədə yaxın cəm və ya fərq kimi yaz. Yuvarlaq ədədin kvadratını tapmaq asandır, qalan iki hədd kiçik olur. Dərslik 49²-ni belə hesablayır: (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.

Düsturla ağılda hesab
ƏdədYazılışHesabNəticə
103²(100 + 3)²10000 + 600 + 910609
79²(80 − 1)²6400 − 160 + 16241
297²(300 − 3)²90000 − 1800 + 988209
5,1²(5 + 0,1)²25 + 1 + 0,0126,01

Orta hədd həmişə 2 · a · b-dir: 297² üçün 2 · 300 · 3 = 1800. Onu unutsan, 90000 + 9 kimi çox böyük səhv alınar.

6 · Diqqət

Ən çox edilən səhvlər

Səhv

(a + b)² = a² + b²

Orta hədd itib. Ədədlə yoxla: (2 + 3)² = 25, amma 4 + 9 = 13.

Düzgün

(a + b)² = a² + 2ab + b²

4 + 12 + 9 = 25 — iki narıncı zolaq yerindədir.

Səhv

(a − b)² = a² − 2ab − b²

Son hədd mənfi yazılıb, amma (−b) · (−b) müsbətdir.

Düzgün

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Yalnız orta hədd «−» olur; a² − b² də düzgün deyil.

Səhv

(4x)² = 4x², (0,2x)² = 0,4x²

Əmsal kvadrata yüksəldilməyib və ya 2-yə vurulub.

Düzgün

(4x)² = 16x², (0,2x)² = 0,04x²

Bütöv birhədli mötərizədə kvadrata yüksəlir: 4 · 4 və 0,2 · 0,2.

Orta həddi 2-yə vurmağı da unutma: (m + 4)²-də orta hədd 4m yox, 2 · m · 4 = 8m-dir. Şübhə edəndə hərfin yerinə 1 qoyub iki tərəfi müqayisə et.

7 · Düsturla işlər

Sadələşdir, həll et, isbat et

Kvadratı açandan sonra adətən oxşar hədlər birləşir və ifadə xeyli qısalır.

Nümunə 5Sadələşdir

(x − 6)² + 3x(x + 4) ifadəsini sadələşdirin.

  1. Kvadratı aç: (x − 6)² = x² − 12x + 36.
  2. Hasili aç: 3x(x + 4) = 3x² + 12x.
  3. Oxşar hədlər: x² + 3x² = 4x², −12x + 12x = 0.

    4x² + 36

Nümunə 6Tənlik

(x + 4)² − x² = 40 tənliyini həll edin.

  1. Aç: x² + 8x + 16 − x² = 40. x² hədləri silinir — tənlik xətti olur.
  2. 8x + 16 = 40, 8x = 24, x = 3.
  3. Yoxlama: (3 + 4)² − 3² = 49 − 9 = 40.

    x = 3

Eyniliyi isbat etmək — dərslikdə deyildiyi kimi, bərabərliyin hər iki tərəfinin dəyişənlərin istənilən qiymətlərində bərabər olduğunu göstərmək deməkdir. Bir tərəfi açıb o biri tərəfi alırıq:

(a + b)² + (a − b)²   = a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b²   = 2a² + 2b² = 2(a² + b²)

Cəmin kvadratından həmçinin a² + b² = (a + b)² − 2ab alınır. Məsələn, a + b = 6 və ab = 5 olarsa, a və b-ni tapmadan: a² + b² = 36 − 10 = 26. (Yoxla: 1 və 5 ədədləri üçün 1 + 25 = 26.)

8 · Həyatda

Xalça nə qədər böyüyər?

Kvadrat xalçanın tərəfi x metrdir. Usta tərəfi köhnəsindən 0,5 m uzun olan yeni kvadrat xalça toxuyur. Sahə nə qədər artar?

Xalçanın tərəfi x-dən x + 0,5-ə qədər uzadılır Tərəfi x olan mavi kvadrat x². Sağda və altda eni 0,5 olan iki narıncı zolaq, hər birinin sahəsi 0,5x. Küncdə tərəfi 0,5 olan lime kvadrat, sahəsi 0,25. Artım: x + 0,25. x² 0,5x 0,5x 0,25 x 0,5 x 0,5
Artım iki narıncı zolaq və kiçik lime küncdür.

(x + 0,5)² − x²   = x² + x + 0,25 − x²   = x + 0,25 (m²)

Orta hədd 2 · x · 0,5 = x — iki zolağın cəmidir. Köhnə xalçanın tərəfi 3 m idisə, sahə 3 + 0,25 = 3,25 m² artar. Yoxlama: 3,5² = 12,25 və 12,25 − 9 = 3,25.

  • 0,5x + 0,5x = x
  • 0,5² = 0,25

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    (k + 5)² ifadəsini çoxhədli şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Düzdür! Orta hədd 2 · k · 5 = 10k.

    Yox. Orta həddi — hasilin iki mislini unutma: 2 · k · 5.

    Həllə bax

    k² + 2 · k · 5 + 5² = k² + 10k + 25.

  2. Asan

    (1 − 3c)² nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Əla! (3c)² = 9c².

    Yox. 3c bütöv kvadrata yüksəlir, orta hədd də itməməlidir.

    Həllə bax

    1² − 2 · 1 · 3c + (3c)² = 1 − 6c + 9c².

  3. Orta

    202²-ni düsturla ağılda hesabla.

    Cavab variantları

    Düzdür: 40000 + 800 + 4.

    (200 + 2)²-də orta hədd 2 · 200 · 2 = 800-dür.

    Həllə bax

    202² = (200 + 2)² = 40000 + 800 + 4 = 40804.

  4. Orta

    (0,5x − 4)² ifadəsini çoxhədli şəklində yaz.

    Cavab variantları

    Əla! 0,5 · 0,5 = 0,25 və 2 · 0,5x · 4 = 4x.

    Yox. Əmsalı da kvadrata yüksəlt (0,5² = 0,25) və orta həddi 2-yə vur.

    Həllə bax

    (0,5x)² − 2 · 0,5x · 4 + 4² = 0,25x² − 4x + 16.

  5. Çətin

    (y − 3)² − y² = 21 tənliyini həll et.

    Cavab variantları

    Düzdür! −6y + 9 = 21.

    Kvadratı aç: y² − 6y + 9; son hədd +9-dur. Sonra −6y-ə böləndə işarəyə diqqət et.

    Həllə bax

    y² − 6y + 9 − y² = 21, −6y = 12, y = −2. Yoxlama: (−5)² − 4 = 21.

  6. Çətin

    m + n = 5 və mn = 4 olarsa, m² + n² neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! 25 − 2 · 4 = 17.

    Yox. (m + n)²-dən hasilin iki mislini — 2mn-i çıx.

    Həllə bax

    m² + n² = (m + n)² − 2mn = 25 − 8 = 17. Yoxlama: 1 və 4 üçün 1 + 16 = 17.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • (a + b)² = a² + 2ab + b²Kvadratlar cəmi üstəgəl hasilin iki misli — şəkildə iki eyni zolaq.
  • (a − b)² = a² − 2ab + b²Yalnız orta hədd «−» olur; b² həmişə müsbətdir.
  • (5a)² = 25a²Bütöv birhədli kvadrata yüksəlir; ağılda hesabda ədədi yuvarlaq ədədə yaxın cəm və ya fərq kimi yaz.

Növbəti mövzu: 2.31 İkihədlinin kvadratı düsturlarından istifadə edərək üçhədlinin vuruqlara ayrılması