• 2.33
  • 7-ci sinif
  • Müxtəsər vurma düsturları

İkihədlinin kuba yüksəldilməsi

(a + b)3 yazanda əl özü a3 + b3 yazmaq istəyir. Amma tili a + b olan kubu kəssək, 8 hissə alınır — a3 və b3 onlardan cəmi ikisidir.

Bu dərsdə

  • (a + b)3 və (a − b)3 düsturlarını kubun həcmindən və vurmadan çıxaracaqsan;
  • ikihədlinin kubunu çoxhədli şəklində yazacaqsan — əmsallar, kəsrlər və qüvvətlərlə;
  • düsturla ədədlərin kubunu ağılda hesablayacaq, eynilikdə çatışmayan birhədlini tapacaqsan.
Tili a + b olan kub 8 hissəyə bölünür Hər tili a və b parçalarına bölünmüş kub. Öndə tili a olan böyük göy kub a³, onun yanlarında üç yaşıl lövhə a²b, kənarlarda üç narıncı çubuq ab²; tili b olan kiçik qırmızı kub b³ arxa küncdə gizlidir. Sağdakı rəfdə hissələr ayrıca göstərilib: bir a³, üç a²b, üç ab², bir b³. Altda: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. baba a³ 3a²b 3ab² b³ (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
  1. Kubu kəs
  2. Cəmin kubu
  3. Fərqin kubu
  4. Laboratoriya
  5. Hesabla
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kubu səkkiz hissəyə kəsək

Tili a + b olan kubun həcmi (a + b)3-dur. Kubun hər tilini a və b parçalarına bölüb kəsək. Hər hissə ya kubdur, ya da düzbucaqlı paralelepipeddir — onlara qısaca lövhə və çubuq deyək.

Kubun hissələri
HissəÖlçülərSayıHəcmi
böyük kuba · a · a1a3
lövhəa · a · b33a2b
çubuqa · b · b33ab2
kiçik kubb · b · b1b3

Şəkildə yeddi hissə görünür; kiçik b3 kubu arxa aşağı küncdə, digər hissələrin arxasındadır — rəfdə onu ayrıca göstərmişik. Bütöv kubun həcmi hissələrin həcmləri cəminə bərabərdir:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Rəqəmlə yoxlayaq: a = 3 sm, b = 2 sm. Kubun tili 5 sm, həcmi 53 = 125 sm3.

27 + 3 · 9 · 2 + 3 · 3 · 4 + 8= 27 + 54 + 36 + 8 = 125 ✓

a3 + b3 isə cəmi 27 + 8 = 35 sm3 olardı — lövhələr və çubuqlar itərdi.

Kubun ön üzünə bax: o, 2.30-dan tanış olan (a + b)2 kvadratıdır — a2, iki ab və b2. Kub bu kvadratın a + b hündürlüyə «qaldırılmasıdır».

2 · Qayda

Cəmin kubu — vurma ilə

Şəkil yalnız müsbət uzunluqlar üçündür. Düsturun hər a və b üçün doğru olduğunu vurma göstərir: kub — kvadratın bir dəfə də vurulmasıdır, (a + b)3 = (a + b)2 · (a + b).

(a2 + 2ab + b2) · (a + b): altı hasil
·ab
a2a3a2b
2ab2a2b2ab2
b2ab2b3

Eyni rəngli xanalar oxşar hədlərdir. Onları toplayırıq:

a2b + 2a2b = 3a2b,2ab2 + ab2 = 3ab2.

Üç lövhə və üç çubuq məhz buradan gəlir.

Yadda saxla

İki ifadənin cəminin kubu bərabərdir: birincinin kubu, üstəgəl birincinin kvadratı ilə ikincinin hasilinin üç misli, üstəgəl birinci ilə ikincinin kvadratı hasilinin üç misli, üstəgəl ikincinin kubu.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
Cəmin kubunda hədlərin naxışı Dörd sütun: a³, 3a²b, 3ab², b³. a-nın üstləri 3, 2, 1, 0 — azalır; b-nin üstləri 0, 1, 2, 3 — artır; əmsallar 1, 3, 3, 1; hər həddə üstlərin cəmi 3-dür. a³ 3a²b 3ab² b³ a-nın üstü b-nin üstü əmsal üstlər cəmi 3210 0123 1331 3333
Soldan sağa birincinin üstü 1 azalır, ikincinin üstü 1 artır; əmsallar 1, 3, 3, 1. Hər hədd kubun bir hissəsidir, ona görə üstlərin cəmi həmişə 3-dür (həcm üç ölçünün hasilidir).

Qısa forma

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Ortadakı iki həddin ortaq vuruğu 3ab-dir: 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b).

Birhədli mötərizədə

3 · x · (2y)2 = 12xy2

a və ya b birhədlidirsə, onu bütöv mötərizəyə alıb qüvvətə yüksəldirik: (2y)2 = 4y2.

3 · Qayda

Fərqin kubu — işarələr növbələşir

Fərqi cəm kimi yazaq: a − b = a + (−b). Cəmin kubu düsturunda b-nin yerinə −b qoyuruq. Mənfi ədədin cüt qüvvəti müsbət, tək qüvvəti mənfidir: (−b)2 = b2, (−b)3 = −b3.

(a − b)3 = a3 + 3a2(−b) + 3a(−b)2 + (−b)3= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Yadda saxla

İki ifadənin fərqinin kubu bərabərdir: birincinin kubu, çıxılsın birincinin kvadratı ilə ikincinin hasilinin üç misli, üstəgəl birinci ilə ikincinin kvadratı hasilinin üç misli, çıxılsın ikincinin kubu.

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
Cəmin və fərqin kubunda işarələr Dörd hədd: a³, 3a²b, 3ab², b³; onlarda b-nin üstü 0, 1, 2, 3. Cəmin kubunda dörd işarə də artıdır. Fərqin kubunda işarələr artı, mənfi, artı, mənfi: b-nin üstü tək olan hədlər mənfidir. a³ 3a²b 3ab² b³ b-nin üstü 0123 (a + b)³ (a − b)³ + + + + + − + −
b-nin üstü tək olan hədlər (3a2b və b3) mənfi olur; qalanlar dəyişmir.

Yoxlama: a = 5, b = 2 olsun. Onda (5 − 2)3 = 33 = 27.

125 − 3 · 25 · 2 + 3 · 5 · 4 − 8= 125 − 150 + 60 − 8 = 27 ✓

Qısa formada: (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b).

4 · Laboratoriya

Dörd həddi bir-bir qur

İkihədlini seç: şəkil hər həddi düsturun sırası ilə hesablayır. İşarəni düstur verir, ona görə fərqdə ikinci ifadəni işarəsiz götürürük: (y − 5)3-da ikinci ifadə 5-dir.

Hansı ikihədlinin kubu?
İkihədlinin kubunun dörd həddi Dörd sətir: birincinin kubu; üç vur birincinin kvadratı vur ikinci; üç vur birinci vur ikincinin kvadratı; ikincinin kubu. Hər sətrin solunda işarə, altda seçilmiş ikihədli üçün hesablama, ən altda alınan çoxhədli. Seçimə görə dəyişən mətn şəkildən sonrakı izahda da yazılıb. birincinin kubu 3 · (birinci)² · ikinci 3 · birinci · (ikinci)² ikincinin kubu + + + + − − n³ 3 · n² · 6 = 18n² 3 · n · 6² = 108n 6³ = 216 y³ 3 · y² · 5 = 15y² 3 · y · 5² = 75y 5³ = 125 (4t)³ = 64t³ 3 · (4t)² · 1 = 48t² 3 · 4t · 1² = 12t 1³ = 1 (2c)³ = 8c³ 3 · (2c)² · 3d = 36c²d 3 · 2c · (3d)² = 54cd² (3d)³ = 27d³ n³ + 18n² + 108n + 216 y³ − 15y² + 75y − 125 64t³ + 48t² + 12t + 1 8c³ − 36c²d + 54cd² − 27d³

(n + 6)3: birinci n, ikinci 6; bütün işarələr artı. Cavab: n3 + 18n2 + 108n + 216.

(y − 5)3: birinci y, ikinci 5; fərq olduğu üçün 2-ci və 4-cü hədd mənfidir. Cavab: y3 − 15y2 + 75y − 125.

(4t + 1)3: birinci 4t — əmsal 4 də kuba yüksəlir: (4t)3 = 64t3. 1-in istənilən qüvvəti 1-dir. Cavab: 64t3 + 48t2 + 12t + 1.

(2c − 3d)3: hər iki ifadə birhədlidir, ikisi də mötərizədə qüvvətə yüksəlir: (2c)2 = 4c2, (3d)2 = 9d2. Cavab: 8c3 − 36c2d + 54cd2 − 27d3.

Sol zolağın rəngi hissənin rəngidir: göy — birincinin kubu, yaşıl — lövhələr, narıncı — çubuqlar, qırmızı — ikincinin kubu.

5 · Hesabla

Kubu çoxhədli şəklində yaz

Hər nümunədə əvvəl birinci və ikinci ifadəni adlandırırıq, sonra dörd həddi sıra ilə yazırıq. Hədlər birincinin azalan qüvvətləri ilə düzülür.

Nümunə 1Əmsallı birinci

(2m + 5)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Birinci 2m, ikinci 5; cəmin kubu: bütün işarələr artı.
  2. (2m)3 = 8m3; 3 · (2m)2 · 5 = 3 · 4m2 · 5 = 60m2.
  3. 3 · 2m · 52 = 150m; 53 = 125.

    (2m + 5)3 = 8m3 + 60m2 + 150m + 125

Nümunə 2Kəsrlə fərq

(3x − 13 / )3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Birinci 3x, ikinci 13 / ; fərqin kubu: + − + −.
  2. (3x)3 = 27x3; 3 · 9x2 · 13 / = 9x2.
  3. 3 · 3x · 19 / = x; (13 / )3 = 127 / .

    27x3 − 9x2 + x − 127 /

Nümunə 3Qüvvətin qüvvəti

(p2 + 2q3)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

  1. Qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlər vurulur: (p2)3 = p6, (2q3)2 = 4q6, (2q3)3 = 8q9.
  2. 3 · p4 · 2q3 = 6p4q3; 3 · p2 · 4q6 = 12p2q6.

    p6 + 6p4q3 + 12p2q6 + 8q9

Nümunə 4Çatışmayan birhədlilər

■ və ▲ yerinə elə birhədlilər yazın ki, eynilik alınsın: (■ + 2y)3 = 27x3 + 54x2y + ▲ + 8y3.

  1. Birinci hədd birincinin kubudur: 27x3 = (3x)3, deməli ■ = 3x.
  2. Yoxlayırıq: 3 · (3x)2 · 2y = 54x2y ✓, (2y)3 = 8y3 ✓.
  3. ▲ üçüncü hədddir: 3 · 3x · (2y)2 = 3 · 3x · 4y2 = 36xy2.

    ■ = 3x, ▲ = 36xy2

Nümunə 5Sadələşdir

İfadəni sadələşdirin: (c + 2)3 − c3 − 8.

  1. Kubu açırıq: (c + 2)3 = c3 + 6c2 + 12c + 8.
  2. c3 və 8 silinir: c3 + 6c2 + 12c + 8 − c3 − 8.

    6c2 + 12c = 6c(c + 2)

Nümunə 5-də qalan 6c2 + 12c — kubun lövhələri və çubuqlarıdır; qısa formadakı 3ab(a + b) = 3 · c · 2 · (c + 2) da elə budur.

6 · Diqqət

Hansı hədlər itə bilər?

(2 + 1)³ = 27 vahid kub, 2³ + 1³ isə 9 Tili 3 olan kub 27 vahid kubdan ibarətdir. Onlar hissələrə görə sıralanıb: a³ = 8 göy, 3a²b = 12 yaşıl, 3ab² = 6 narıncı, b³ = 1 qırmızı. Yaşıl və narıncı 18 kub qırıq xətli çərçivədədir: a³ + b³ yazanda məhz onlar itir və 9 alınır. a³ = 2³ = 8 3a²b = 3 · 2² · 1 = 12 3ab² = 3 · 2 · 1² = 6 b³ = 1³ = 1 cəmi: 8 + 12 + 6 + 1 = 27 a³ + b³ = 9: çərçivədəki 18 kub itir
a = 2, b = 1: (2 + 1)3 = 27, amma 23 + 13 = 9. Kubu hədd-hədd kuba yüksəltmək lövhələri və çubuqları atır.

Səhv

(4t)3 = 4t3

Əmsal da kuba yüksəlir. Eyni səhv: 3 · x · (2y)2 yerinə 3 · x · 2y2 = 6xy2 yazmaq.

Düzgün

(4t)3 = 64t3

Birhədlini bütöv mötərizəyə al: 3 · x · (2y)2 = 12xy2.

Səhv

(a − b)3 = a3 − 3a2b − 3ab2 − b3

Hamısı mənfi deyil: 3ab2-də b cüt (ikinci) qüvvətdədir.

Düzgün

+ − + −

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3. Yoxla: a = 1, b = 1 olanda hər iki tərəf 0-dır.

Yerləri dəyişəndə işarə dəyişir. b − a = −(a − b), tək qüvvətdə mənfi qalır: (b − a)3 = −(a − b)3. Məsələn:

(1 − x)3 = 1 − 3x + 3x2 − x3 = −(x − 1)3

Kvadratda belə deyil: (b − a)2 = (a − b)2.

7 · Həyatda

Ağılda kub və təqribi hesab

Böyük ədədin kubunu ədədi «yuvarlaq + kiçik» kimi yazıb tapmaq olar. Qüvvətin əsasını cəm və ya fərq şəklində göstəririk:

1023 = (100 + 2)3

= 1 000 000 + 3 · 10 000 · 2  + 3 · 100 · 4 + 8= 1 000 000 + 60 000 + 1 200 + 8= 1 061 208

9,93 = (10 − 0,1)3

= 1000 − 3 · 100 · 0,1  + 3 · 10 · 0,01 − 0,001= 1000 − 30 + 0,3 − 0,001= 970,299

İkinci toplanan çox kiçik olanda son iki hədd demək olar ki, heç nədir. Usta tili 1 m olan kub qutunun hər tilini 2% — 0,02 m — böyüdür. Həcm neçə faiz artar?

Tili 1 + 0,02 olan kubun hissələri Böyük göy kub — əvvəlki 1 kubmetrlik qutu. Onun üç üzünə nazik yaşıl lövhələr, kənarlarına üç çox nazik narıncı çubuq, küncə kiçicik qırmızı kub əlavə olunur. Lövhələr birlikdə 0,06, çubuqlar 0,0012, kiçik kub 0,000008 kubmetrdir. Şəkildə nazik hissələr qalın çəkilib. 1 · 1 · 1 = 1 3 lövhə: 3 · 0,02 = 0,06 3 çubuq: 3 · 0,0004 = 0,0012 kiçik kub: 0,02³ = 0,000008
Miqyas saxlanmayıb: lövhələr görünsün deyə qalın çəkilib. Kiçik kub arxa küncdə gizlidir.

1,023 = (1 + 0,02)3= 1 + 0,06 + 0,0012 + 0,000008= 1,061208 ≈ 1,06

Həcm təqribən 6% artır — tilin artımının üç misli. Səbəb şəkildədir: əlavə həcmin demək olar hamısı üç nazik lövhədir.

Təqribi bərabərlik

a kiçik müsbət ədəddirsə (0 < a < 1, məsələn, 0,02):

(1 + a)3 ≈ 1 + 3a,
(1 − a)3 ≈ 1 − 3a

a nə qədər kiçikdirsə, atılan 3a2 və a3 hədləri bir o qədər kiçikdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    (k + 5)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

    Cavab variantları

    Düzdür! Dörd hədd, ortadakılarda 3 vuruğu var.

    Yox. Hədd-hədd kuba yüksəltmək olmaz, ortadakı hədlərdə isə 3 vuruğunu unutma.

    Həllə bax

    k3 + 3 · k2 · 5 + 3 · k · 25 + 125 = k3 + 15k2 + 75k + 125.

  2. Asan

    (t − 2)3 çoxhədlisində t-nin (birinci dərəcəli həddin) əmsalı neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Üçüncü hədd 3 · t · 22 = 12t, işarəsi artı.

    Yox. Üçüncü hədd 3 · birinci · (ikinci)2-dir; b cüt qüvvətdə olduğu üçün işarəsi artıdır.

    Həllə bax

    (t − 2)3 = t3 − 6t2 + 12t − 8. t-nin əmsalı 12-dir.

  3. Orta

    (2a + 3b)3 çoxhədlisində ab2 olan hədd hansıdır?

    Cavab variantları

    Əla! (3b)2 = 9b2, sonra 3 · 2a · 9b2.

    Yox. 3b-ni bütöv kvadrata yüksəlt: (3b)2 = 9b2. 36a2b isə o biri orta hədddir.

    Həllə bax

    3 · 2a · (3b)2 = 3 · 2a · 9b2 = 54ab2. (Tam açılış: 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3.)

  4. Orta

    413-u cəmin kubu düsturu ilə hesablayın.

    Cavab variantları

    Düzdür! 64 000 + 4 800 + 120 + 1.

    Yox. 41 = 40 + 1; dörd həddin hamısını topla — 3 · 40 · 12 = 120 də daxil.

    Həllə bax

    (40 + 1)3 = 403 + 3 · 1600 · 1 + 3 · 40 · 1 + 1 = 64 000 + 4 800 + 120 + 1 = 68 921.

  5. Çətin

    (■ − 4)3 = 125y3 − ▲ + 240y − 64 eyniliyində ▲ hansı birhədlidir?

    Cavab variantları

    Əla! ■ = 5y, ▲ = 3 · 25y2 · 4.

    Yox. Əvvəl ■-ni tap: 125y3 = (5y)3. Sonra ▲ = 3 · (5y)2 · 4 — həm kvadrat, həm də 3 vuruğu lazımdır.

    Həllə bax

    125y3 = (5y)3, deməli ■ = 5y. ▲ = 3 · (5y)2 · 4 = 3 · 25y2 · 4 = 300y2. Yoxlama: 3 · 5y · 42 = 240y ✓, 43 = 64 ✓.

  6. Çətin

    (1 − a)3 ≈ 1 − 3a bərabərliyi ilə 0,983-un təqribi qiymətini tapın.

    Cavab variantları

    Düzdür! Dəqiq qiymət 0,941192-dir.

    Yox. 0,98 = 1 − 0,02; 1-dən kiçik ədədin kubu daha da kiçilir, təqribən 3 · 0,02 qədər.

    Həllə bax

    0,983 = (1 − 0,02)3 ≈ 1 − 3 · 0,02 = 0,94. Dəqiq: 1 − 0,06 + 0,0012 − 0,000008 = 0,941192.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Kub 8 hissədir: böyük kub, 3 lövhə, 3 çubuq, kiçik kub.
  • (a − b)3: + − + −b-nin üstü tək olan hədlər mənfidir: a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
  • (4t)3 = 64t3Birhədlini bütöv mötərizədə qüvvətə yüksəlt; (a + b)3 ≠ a3 + b3.

Növbəti mövzu: 2.34 İki ifadənin kubları cəmi və kubları fərqi