• 6.64
  • 11-ci sinif
  • Statistika və ehtimal

Təsadüfi hadisələr və ehtimal

Zər atılır, 6 düşmə ehtimalı 1/6-dır. Bəs kimsə «düşən xal cütdür» desə? İndi yalnız 2, 4, 6 qalır və şans 1/3-ə qalxır. Məlumat ehtimalı dəyişir — bu dərs bunun qaydalarıdır.

Bu dərsdə

  • sınağın elementar hadisələr fəzasını yazıb klassik ehtimalı hesablayacaqsan;
  • hadisələrin birləşməsi, kəsişməsi və tamamlayıcı hadisə ilə ehtimalları toplayacaqsan;
  • şərti ehtimalı tapacaq, asılı və asılı olmayan hadisələrdə vurma qaydasını tətbiq edəcəksən.
Zərin altı nəticəsi və «cüt xal» şərti Solda üç üzü görünən zər. Aşağıda U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} — altı nəticə kartı. Cüt nəticələr 2, 4 və 6 mavi rənglə seçilir, tək nəticələr 1, 3, 5 qırmızı xətlə pozulur, 6 kartı yaşıl olur. Sağ yuxarıdakı kart: P(6) = 1/6, şərt məlum olanda P(6 | cüt) = 1/3. P(6) = 1/6 P(6 | cüt) = 1/3 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1 22 3 44 5 666 şərt: cüt xal
  1. Kəşf et
  2. Klassik ehtimal
  3. Hadisələr üzərində əməllər
  4. İki zər
  5. Şərti ehtimal
  6. Asılılıq və vurma
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sınaq, nəticə, hadisə

Zəri atmaq bir sınaqdır. Onun hər ayrılmayan nəticəsi — 1, 2, …, 6 xal — elementar hadisədir. Bütün elementar hadisələrin çoxluğu elementar hadisələr fəzası (sınaq fəzası) adlanır və U ilə işarə olunur: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Fəzanın istənilən alt çoxluğu bir hadisədir. Hadisə seç və hansı nəticələrin ona daxil olduğuna bax.

Hansı hadisə?
Zərin altı üzü Zərin 1-dən 6-ya qədər xallı altı üzü bir sırada. Seçilən hadisəyə daxil olan üzlər yaşıl rənglə seçilir.

Cüt xal: A = {2, 4, 6}. 6 nəticədən 3-ü əlverişlidir: P(A) = 3/6 = 1/2.

4-dən böyük: B = {5, 6}. P(B) = 2/6 = 1/3.

7 xal: heç bir nəticə uyğun gəlmir, hadisə boş çoxluqdur, Ø. Bu, mümkün olmayan hadisədir: P = 0.

1-dən 6-ya qədər: bütün nəticələr daxildir, hadisə U-nun özüdür. Bu, yəqin hadisədir: P = 1.

Hər hadisə nəticələrin çoxluğudur; ehtimalı əlverişli nəticələrin payıdır.

Fəzada n nəticə varsa, onun alt çoxluqlarının, yəni mümkün hadisələrin sayı 2n-dir: zər üçün 26 = 64 hadisə.

2 · Qayda

Klassik ehtimal

Yadda saxla

Elementar nəticələri eyniimkanlı olan sınaqda A hadisəsinin ehtimalı ona əlverişli nəticələrin sayının bütün nəticələrin sayına nisbətidir:

P(A) = əlverişli nəticələrbütün nəticələr /

«Eyniimkanlı» şərti vacibdir: düstur nəticələrin hər birinin eyni şansı olanda işləyir.

Sərhədlər

0 ≤ P(A) ≤ 1

Mümkün olmayan hadisə üçün 0, yəqin hadisə üçün 1.

Cəm

∑ P(Ei) = 1

Bütün elementar hadisələrin ehtimallarının cəmi 1-dir.

Tamamlayıcı hadisə

P(Ā) = 1 − P(A)

Ā — A-ya daxil olmayan bütün nəticələr («A baş vermədi»).

3 · Qayda

Hadisələr üzərində əməllər

Hadisələr çoxluq olduğu üçün onlar üzərində çoxluq əməlləri aparılır.

  • Birləşmə A ∪ B — A və ya B-dən heç olmasa biri baş verir.
  • Kəsişmə A ∩ B — həm A, həm B baş verir.
  • Uyuşmayan hadisələr — ortaq nəticələri yoxdur: A ∩ B = Ø.

Birləşmənin ehtimalı

A və B toplananda kəsişmə iki dəfə sayılır, ona görə onu bir dəfə çıxırıq:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
− P(A ∩ B)

Uyuşmayan hadisələrdə kəsişmə boşdur: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Voleybol və basketbol: Venn diaqramı 30 şagirdlik sinif düzbucaqlı ilə göstərilib. V dairəsi voleybol, B dairəsi basketbol oynayanlardır. Yalnız voleybol: 12, hər ikisi: 6, yalnız basketbol: 6, heç biri: 6. U: 30 şagird V B 12 6 6 heç biri: 6
V ∩ B — 6 şagird; onlar həm 18-ə, həm 12-yə daxildir.
Nümunə 1Heç birini oynamayan

30 şagirdlik sinifdə 18 nəfər voleybol, 12 nəfər basketbol oynayır, 6 nəfər isə hər ikisini oynayır. Təsadüfən seçilən şagirdin bu oyunlardan heç birini oynamaması ehtimalını tapın.

  1. P(V) = 18/30, P(B) = 12/30, P(V ∩ B) = 6/30.
  2. Heç olmasa birini oynayır: P(V ∪ B) = (18 + 12 − 6)/30 = 24/30.
  3. «Heç biri» — birləşmənin tamamlayıcısıdır: 1 − 24/30 = 6/30.

    P = 1/5

4 · Hesabla

İki zər: 36 eyniimkanlı nəticə

İki zər atılanda nəticə nizamlı cütdür: (birinci zər; ikinci zər). (1; 6) ilə (6; 1) fərqli nəticələrdir. Cəmi 6 · 6 = 36 nəticə var və hamısı eyniimkanlıdır. Xalların cəmi isə eyniimkanlı deyil: cəm 2 bir yolla, cəm 7 altı yolla alınır.

İki zərin 36 nəticəsi və cəm 7 6 sətir və 6 sütunluq cədvəl: sətir birinci zərin, sütun ikinci zərin xalıdır, xanada xalların cəmi yazılıb. Cəmi 7 olan altı xana — (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) — diaqonal üzrə yaşıl rənglə seçilir. II zər I zər 123456 123456 234567345678456789567891067891011789101112777777
Cəm 7 diaqonalda altı dəfə gəlir — bütün cəmlər arasında ən çox.
Nümunə 2Cəm 7

İki zər atılır. Xalların cəminin 7 olması ehtimalını tapın.

  1. Bütün nəticələr: 36.
  2. Əlverişli cütlər: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) — 6 nəticə.
  3. P = 6/36.

    P(cəm 7) = 1/6

Nümunə 3Heç olmasa bir 6

İki zər atılır. Heç olmasa bir zərdə 6 xal düşməsi ehtimalını tapın.

  1. Tamamlayıcı hadisə: «heç bir zərdə 6 yoxdur». Hər zərdə 5 imkan qalır: 5 · 5 = 25 nəticə.
  2. P(heç bir 6 yoxdur) = 25/36.
  3. P = 1 − 25/36 = 11/36. Yoxlama: 6-lı sətir və sütunda 6 + 6 − 1 = 11 xana var.

    P = 11/36

5 · Qayda

Şərti ehtimal

Girişdəki suala qayıdaq. «Cüt xal düşdü» məlumatı fəzanı {2, 4, 6}-ya daraldır. Bu üç nəticə yenə eyniimkanlıdır, onlardan biri 6-dır: şans 1/3 olur.

Yadda saxla

B hadisəsinin baş verməsi şərti daxilində A-nın ehtimalına şərti ehtimal deyilir və P(A | B) kimi yazılır:

P(A | B) = P(A ∩ B)P(B) / ,  P(B) > 0

Buradan vurma qaydası alınır: P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B).

Zər üçün: P(6 ∩ cüt) = 1/6, P(cüt) = 1/2, deməli P(6 | cüt) = (1/6) : (1/2) = 1/3.

40 şagirdin seçdiyi dərnək
ŞagirdlərİdmanİncəsənətCəmi
Oğlanlar14620
Qızlar81220
Cəmi221840
Nümunə 4Cədvəldən şərti ehtimal

İncəsənət dərnəyinə gedənlər arasından təsadüfən bir şagird seçilir. Onun qız olması ehtimalı nədir?

  1. Şərt fəzanı incəsənət sütununa daraldır: 18 şagird (mavi sütun).
  2. Onlardan qızlar: 12.
  3. P(qız | incəsənət) = 12/18. Düsturla da: (12/40) : (18/40) = 12/18.

    P = 2/3

6 · Hesabla

Asılı və asılı olmayan hadisələr

Əgər P(A | B) = P(A), yəni B-nin baş verməsi A-nın ehtimalını dəyişmirsə, A və B asılı olmayan hadisələrdir. Onda vurma qaydası sadələşir: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). A və B asılı deyilsə, Ā ilə B də asılı deyil.

Asılı olmayan

1/2 · 1/6 = 1/12

Metal pul və zər birlikdə atılır: «gerb və 6». Pulun nəticəsi zərə təsir etmir.

Asılı

3/8 · 2/7 = 3/28

Torbadan kürə qaytarılmadan çıxarılır: birinci çəkiliş ikincinin tərkibini dəyişir.

Qaytarılmadan iki kürə: ehtimal ağacı Torbada 3 ağ və 5 qara kürə. Birinci çəkiliş: ağ 3/8, qara 5/8. Birinci ağ olubsa ikinci ağ 2/7, qara 5/7; birinci qara olubsa ikinci ağ 3/7, qara 4/7. Hər ikisinin ağ olduğu yol yaşıl rənglə seçilib, hasili 3/28. 3/85/8 2/75/7 3/74/7 ağ qara ağ qara ağ qara 3/28
Birinci ağ kürə çıxandan sonra torbada 7 kürə, onlardan 2-si ağ qalır — ona görə ikinci budaqda 2/7 yazılıb.
Nümunə 5Qaytarılmadan və qaytarmaqla

Torbada 3 ağ və 5 qara kürə var. Ardıcıl iki kürə çıxarılır. Hər ikisinin ağ olması ehtimalını a) kürə qaytarılmadan; b) birinci kürə geri qaytarılmaqla tapın.

  1. a) P(1-ci ağ) = 3/8. Sonra 7 kürədən 2-si ağdır: P(2-ci ağ | 1-ci ağ) = 2/7. Vurma qaydası: 3/8 · 2/7 = 6/56 = 3/28.
  2. b) Kürə qaytarılırsa, tərkib dəyişmir və çəkilişlər asılı deyil: 3/8 · 3/8 = 9/64.

    a) 3/28   b) 9/64

7 · Diqqət

İki tipik qarışıqlıq

Səhv düşüncə

«Uyuşmayan» = «asılı olmayan»

Uyuşmayan hadisələr birlikdə baş vermir: biri baş verdisə, digərinin ehtimalı 0 olur. Deməli, ehtimalları müsbətdirsə, onlar asılıdır.

Düzgün

Uyuşmayan → toplayırıq; asılı olmayan → vururuq

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) uyuşmayanlar üçündür, P(A ∩ B) = P(A) · P(B) asılı olmayanlar üçün.

Səhv düşüncə

P(qız | incəsənət) = 12/20

12/20 — qızlar arasından incəsənətçi seçmək, yəni P(incəsənət | qız) = 3/5-dir.

Düzgün

P(qız | incəsənət) = 12/18 = 2/3

Şərtdəki hadisə məxrəcdədir. Birgə ehtimal isə başqadır: P(qız ∩ incəsənət) = 12/40 = 3/10.

8 · Həyatda

Keyfiyyət yoxlaması: «ən azı biri»

Zavodda hər detalın qüsurlu çıxma ehtimalı 0,05-dir və detallar bir-birindən asılı olmayaraq qüsurlu olur. Real istehsalda belə ehtimal çoxlu yoxlamaların tezliyindən təxmin edilir. Usta 4 detal götürür. Onlardan ən azı birinin qüsurlu olması ehtimalı nə qədərdir?

Dörd detal: tamamlayıcı hadisə Uzunluğu 1 olan zolaq iki hissəyə bölünüb: dörd detalın hamısının qüsursuz olması 0,95 üstü 4, təxminən 0,815, və ən azı birinin qüsurlu olması, təxminən 0,185. hamısı qüsursuz 0,95⁴ ≈ 0,815 0,185 ən azı biri qüsurlu ≈ 0,185
«Ən azı biri» hadisəsini birbaşa saymaq çətindir: 1, 2, 3 və ya 4 qüsurlu detal ola bilər. Tamamlayıcısı isə bir haldır.

P(hamısı qüsursuz) = 0,95⁴    ≈ 0,815P(ən azı biri qüsurlu)    = 1 − 0,815 ≈ 0,185

Yəni təxminən hər beş yoxlamadan birində ən azı bir qüsurlu detal tapılacaq — tək detal üçün 5% az görünsə də.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Zər atılır. Düşən xalın 5-dən kiçik olması ehtimalı neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! {1, 2, 3, 4} — 4 nəticə: 4/6 = 2/3.

    Yox. «5-dən kiçik» 5-i daxil etmir: yalnız 1, 2, 3, 4.

    Həllə bax

    Əlverişli nəticələr 1, 2, 3, 4 — 4 dənə, bütün nəticələr 6: P = 4/6 = 2/3.

  2. Asan

    P(A) = 0,35 olarsa, P(Ā) neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! 1 − 0,35 = 0,65.

    Yox. Ā — «A baş vermədi»: onun ehtimalı P(A)-nı 1-dən çıxmaqla tapılır və 0 ilə 1 arasında olur.

    Həllə bax

    P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,35 = 0,65.

  3. Orta

    A və B uyuşmayan hadisələrdir, P(A) = 0,5, P(B) = 0,3. P(A ∪ B) neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Uyuşmayanlarda kəsişmə yoxdur: 0,5 + 0,3.

    Yox. Uyuşmayan hadisələr vurulmur, toplanır; kəsişmələri boşdur.

    Həllə bax

    A ∩ B = Ø, ona görə P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 = 0,8. 0,15 hasildir (asılı olmayanlar üçün), 0,65 isə hasili lazımsız yerə çıxmaqdır.

  4. Orta

    Torbada 2 ağ və 3 qara kürə var. Qaytarılmadan iki kürə çıxarılır. Hər ikisinin qara olması ehtimalı neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! 3/5 · 2/4 = 3/10.

    Yox. Kürə qaytarılmır: ikinci çəkilişdə 4 kürə, onlardan 2-si qara qalır.

    Həllə bax

    P(1-ci qara) = 3/5, P(2-ci qara | 1-ci qara) = 2/4. Hasil: 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10. 9/25 qaytarmaqla olardı.

  5. Çətin

    İki zər atılıb, xalların cəminin 10 olduğu məlumdur. Hər iki zərdə eyni xal düşməsi ehtimalı neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Cəm 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4) — eyni xal yalnız (5; 5).

    Yox. Şərt fəzanı cəmi 10 olan nizamlı cütlərə daraldır; (4; 6) və (6; 4) ayrı nəticədir.

    Həllə bax

    Şərt: cəm 10 → 3 nizamlı cüt. Onlardan biri (5; 5). P = 1/3. 1/36 şərtsiz P(5; 5)-dir, 1/2 isə nizamsız cütləri saymaqdan yaranır.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • P(A) = əlverişli / bütünYalnız eyniimkanlı nəticələrdə; 0 ≤ P(A) ≤ 1 və P(Ā) = 1 − P(A).
  • P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)Uyuşmayan hadisələrdə kəsişmə boşdur və ehtimallar sadəcə toplanır.
  • P(A ∩ B) = P(B) · P(A | B)Şərt fəzanı daraldır; asılı olmayanlarda P(A | B) = P(A) və hasil P(A) · P(B) olur.

Növbəti mövzu: 6.65 İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər