• 6.15
  • 11‑ci sinif
  • Fəzada həndəsə

Sferanın tənliyi

Fəzada M(2; 3; 4) nöqtəsindən düz 3 vahid aralı olan bütün nöqtələr nə əmələ gətirir? Sfera — və onların hamısını bir tənlik tutur.

Bu dərsdə

  • mərkəzi və radiusu verilmiş sferanın tənliyini yazacaq, tənlikdən mərkəzi və radiusu oxuyacaqsan;
  • açılmış tənliyi tam kvadratlara ayırıb onun sfera olub-olmadığını yoxlayacaqsan;
  • sferanın müstəvi ilə kəsişməsini, toxunan müstəvini və nöqtədən sferaya məsafəni tapacaqsan.
  • mərkəz
  • radius
  • sferanın nöqtəsi, kəsik
Sfera: M(2; 3; 4) mərkəzindən 3 vahid aralı olan bütün nöqtələrFəzada koordinat oxları x, y, z. O nöqtəsindən x boyunca 2, y boyunca 3, yuxarı 4 vahid gedən qırıq yol M(2; 3; 4) mərkəzinə çatır. M mərkəzli, radiusu 3 olan sfera çevrə və qırıq ekvator ellipsi ilə çəkilib. MT (yuxarı) və MR (sağa) radiuslarının hər biri 3‑dür. Sferanın arxasında qalan ox hissələri qırıq xəttlə göstərilib.xyzOM(2; 3; 4)TR33r = 3

(x − 2)² + (y − 3)² + (z − 4)² = 9

  1. Nöqtə harada?
  2. Tərif və tənlik
  3. Tənliyi yaz və oxu
  4. Kəsik və toxunma
  5. Məsafə tapşırıqları
  6. Diqqət
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Nöqtə sferanın harasındadır?

Yuxarıdakı sferanın mərkəzi M(2; 3; 4), radiusu 3‑dür. Nöqtənin sferaya aid olub-olmadığını bilmək üçün onun M-dən məsafəsini iki nöqtə arasındakı məsafə düsturu ilə hesablayaq. Kökü almamaq üçün məsafənin kvadratını r² = 9 ilə müqayisə edirik.

Nöqtəni seç
Üç nöqtə və M(2; 3; 4) mərkəzli, radiusu 3 olan sferaSfera və koordinat oxları. Seçilmiş nöqtə M mərkəzi ilə parça ilə birləşdirilib: R(2; 6; 4) sferanın üzərindədir, Q(3; 4; 5) içindədir, S(2; 3; 8) sferadan yuxarıda, xaricdədir.xyzOMRQS

MR² = 0² + 3² + 0² = 9 = r². MR = 3: R sferanın üzərindədir.

MQ² = 1² + 1² + 1² = 3 < 9. MQ = √3 < 3: Q sferanın içindədir — sferaya aid deyil.

MS² = 0² + 0² + 4² = 16 > 9. MS = 4 > 3: S sferadan kənardadır.

Sferaya yalnız M-dən məsafəsi düz 3 olan nöqtələr aiddir. Bu şərti istənilən P(x; y; z) üçün yazsaq, sferanın tənliyini alarıq.

2 · Qayda

Sfera və onun tənliyi

Tərif

Verilmiş P₀(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən r məsafədə olan bütün nöqtələr çoxluğuna sfera deyilir. P₀ nöqtəsi sferanın mərkəzi, r isə radius adlanır.

P(x; y; z) sferanın nöqtəsidirsə, iki nöqtə arasındakı məsafə düsturuna görə P₀P = r, yəni

(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²

Bu, mərkəzi P₀ və radiusu r olan sferanın tənliyidir.

Sferanın mərkəzi P₀, üzərindəki P nöqtəsi və radius rP₀(x₀; y₀; z₀) mərkəzli sfera; sferanın üzərindəki P(x; y; z) nöqtəsi mərkəzlə r radiusu ilə birləşdirilib. Sferanın bütün nöqtələri P₀-dan eyni r məsafəsindədir.xyzOP₀(x₀; y₀; z₀)P(x; y; z)r
Mərkəz mavi, radius narıncı, sferanın nöqtəsi yaşıldır. Sferanın arxasında qalan ox hissələri qırıq xəttlədir.

Niyə tənlik sferanı tam təsvir edir? P₀P = √((x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)²). P₀P = r bərabərliyinin hər iki tərəfi mənfi deyil, ona görə onu kvadrata yüksəltmək və geri kök almaq olar: sferanın hər nöqtəsi tənliyi ödəyir və tənliyi ödəyən hər nöqtə sferanın üzərindədir.

Mərkəz koordinat başlanğıcındadır

x² + y² + z² = r²

Bu sferanın Oxy müstəvisi ilə kəsişməsi onun böyük çevrəsidir: z = 0 qoysaq, x² + y² = r² alınır — radiusu sferanın radiusuna bərabər olan çevrə.

Sfera, içi və xarici

Kəşf mərhələsindəki kimi, nöqtənin koordinatlarını tənliyin sol tərəfində yerinə qoy: = r² — sferanın üzərində, < r² — içində, > r² — xaricində. Sfera yalnız səthdir; səth və onun içi birlikdə kürədir (≤ r²).

x² + y² + z² = r² sferası və Oxy müstəvisiMərkəzi O olan sfera. Kölgəli Oxy müstəvisi onu tən ortadan kəsir; kəsik — radiusu r olan böyük çevrədir (yaşıl). Çevrənin arxa yarısı qırıq xəttlə göstərilib.xyzOOxyböyük çevrər
Oxy müstəvisi sferanı tən ortadan kəsir: kəsik böyük çevrədir.

3 · Hesabla

Tənliyi yaz, tənliyi oxu

Nümunə 1Mərkəz və radiusdan tənliyə

Mərkəzi M(2; −1; 1) nöqtəsində yerləşən və radiusu r = 5 olan sferanın tənliyini yazın.

  1. Tənlikdə mötərizələrdə koordinat çıxılsın mərkəzin koordinatı yazılır: x − 2, y − (−1), z − 1.
  2. y − (−1) = y + 1: mərkəzin mənfi koordinatı tənlikdə «+» ilə görünür.
  3. Sağ tərəf radiusun kvadratıdır: 5² = 25.

    (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 1)² = 25

Nümunə 2Mərkəz və bir nöqtə

Mərkəzi C(1; −1; 2) nöqtəsində olan və K(3; 1; 3) nöqtəsindən keçən sferanın tənliyini yazın.

  1. K sferanın üzərindədir, deməli radius CK məsafəsidir.
  2. r² = CK² = (3 − 1)² + (1 + 1)² + (3 − 2)² = 4 + 4 + 1 = 9. Kökə ehtiyac yoxdur: tənliyə elə r² yazılır.

    (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9

Nümunə 3Açılmış tənlik: tam kvadratlara ayır

x² + y² + z² − 2x + 6y − 8z + 1 = 0 tənliyinin sfera olduğunu göstərin, mərkəzini və radiusunu tapın.

  1. Hər dəyişənin hədlərini qruplaşdır: (x² − 2x) + (y² + 6y) + (z² − 8z) + 1 = 0.
  2. Tam kvadrata tamamla: x² − 2x = (x − 1)² − 1, y² + 6y = (y + 3)² − 9, z² − 8z = (z − 4)² − 16.
  3. Yerinə qoy: (x − 1)² + (y + 3)² + (z − 4)² − 1 − 9 − 16 + 1 = 0.
  4. Ədədləri sağa keçir: 1 + 9 + 16 − 1 = 25 > 0.

    (x − 1)² + (y + 3)² + (z − 4)² = 25: mərkəz (1; −3; 4), r = 5

Sferadırmı? Tam kvadratdan sonra sağ tərəfə bax

Sağ tərəf mənfidir

x² + y² + z² + 2x − 4y + 6 = 0

(x + 1)² + (y − 2)² + z² = −1. Kvadratların cəmi mənfi ola bilməz: heç bir nöqtə yoxdur, sfera deyil.

Sağ tərəf sıfırdır

x² + y² + z² − 4z + 4 = 0

x² + y² + (z − 2)² = 0: yalnız (0; 0; 2) nöqtəsi. Bir nöqtə sfera deyil.

Kvadratların əmsalları fərqlidir

x² + y² − z² = 4

Sferanın tənliyində x², y², z² eyni əmsalla gəlir; burada z²‑nin əmsalı −1‑dir: sfera deyil.

Ortaq vuruq var

2x² + 2y² + 2z² − 4x − 16 = 0

Əvvəlcə 2‑yə böl: x² + y² + z² − 2x − 8 = 0, sonra (x − 1)² + y² + z² = 9: mərkəz (1; 0; 0), r = 3.

4 · Qayda

Müstəvi sferanı necə kəsir?

Sfera x² + y² + z² = 169, yəni mərkəzi O, radiusu 13‑dür. Onu üfüqi z = h müstəvisi ilə kəsək. Kəsikdə z = h olduğu üçün tənlikdə z-in yerinə h yazmaq kifayətdir: x² + y² = 169 − h².

Müstəvini seç
x² + y² + z² = 169 sferası və z = h müstəvisiMərkəzi O, radiusu 13 olan sfera və kölgəli üfüqi müstəvi z = h. h = 0: kəsik radiusu 13 olan böyük çevrədir. h = 12: kəsik mərkəzi (0; 0; 12), radiusu 5 olan çevrədir; tərəfləri 12, 5 və 13 olan düzbucaqlı üçbucaq göstərilib. h = 13: müstəvi sferaya (0; 0; 13) nöqtəsində toxunur, radius müstəviyə perpendikulyardır. h = 14: müstəvi sferadan yuxarıdadır, ortaq nöqtə yoxdur.xyzz = 013xyzz = 1212135xyzz = 13(0; 0; 13)13xyzz = 14ortaq nöqtə yoxdurO

x² + y² = 169 − 0 = 169: mərkəzi O, radiusu 13 olan böyük çevrə — sferanın ən böyük kəsiyi.

x² + y² = 169 − 144 = 25: mərkəzi (0; 0; 12), radiusu 5 olan çevrə (dərslikdəki Nümunə 2). Fiqurdakı düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri 12, 5 və hipotenuz 13‑dür.

x² + y² = 169 − 169 = 0: yalnız x = y = 0, yəni (0; 0; 13) nöqtəsi. Müstəvi sferaya bu nöqtədə toxunur.

x² + y² = 169 − 196 = −27: kvadratların cəmi mənfi ola bilməz, ortaq nöqtə yoxdur.

Toxunan müstəvi

Sfera ilə yalnız bir ortaq nöqtəsi olan müstəviyə sferaya toxunan müstəvi deyilir. Məsələn, z = 13 müstəvisi x² + y² + z² = 169 sferasına (0; 0; 13) nöqtəsində toxunur.

Sferaya toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır.

Laboratoriyadan görünür: üçbucaqdan (Pifaqor teoremi) kəsiyin radiusu √(13² − h²)‑dir. Müstəvi mərkəzə nə qədər yaxındırsa, kəsik o qədər böyükdür; h = 13 olanda kəsik bir nöqtəyə çevrilir. Bu, dərsin öz müşahidəsidir — dərslikdə yalnız yerinə qoyma üsulu var.

5 · Hesabla

Məsafə ilə bağlı tapşırıqlar

Bu tapşırıqların hamısında sual eynidir: mərkəz haradadır və radius nəyə bərabərdir?

Nümunə 4Nöqtədən sferaya məsafə

A(−1; 8; 1) nöqtəsindən (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 2)² = 16 sferasına qədər məsafəni tapın.

A nöqtəsindən sferaya ən qısa məsafəMərkəzi M, radiusu 4 olan sfera və ondan kənarda A nöqtəsi. AM parçası sferanı N nöqtəsində kəsir: MN = 4 radiusdur, AN = 7 − 4 = 3 isə A-dan sferaya məsafədir.MANr = 4AN = 3
  1. Tənlikdən: mərkəz M(1; 2; −2), r = 4.
  2. AM² = (−1 − 1)² + (8 − 2)² + (1 + 2)² = 4 + 36 + 9 = 49, AM = 7 > 4: A sferadan kənardadır.
  3. Sferanın A-ya ən yaxın nöqtəsi N, AM parçasının sferanı kəsdiyi nöqtədir: AN = AM − r = 7 − 4 = 3.

    3 vahid

Nümunə 5Koordinat müstəvisinə toxunan sfera

Mərkəzi C(−2; 5; 3) nöqtəsində olan və Oxy müstəvisinə toxunan sferanın tənliyini yazın. Oyz və Oxz müstəvilərinə toxunan sferalar necə olar?

  1. Toxunan müstəvi toxunma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulyardır, deməli radius C-dən müstəviyə perpendikulyar parçadır.
  2. C-dən Oxy-ə (z = 0) perpendikulyarın oturacağı T(−2; 5; 0)‑dır: r = CT = |z₀| = 3.
  3. Eyni qayda ilə Oyz-ə qədər |x₀| = 2, Oxz-ə qədər |y₀| = 5.

    (x + 2)² + (y − 5)² + (z − 3)² = 9

Oxy müstəvisinə toxunan sferaMərkəzi C(−2; 5; 3) olan sfera kölgəli Oxy müstəvisi üzərində durur və ona T(−2; 5; 0) nöqtəsində toxunur. CT radiusu müstəviyə perpendikulyardır və uzunluğu C-nin z koordinatına, 3‑ə bərabərdir.xyzOC(−2; 5; 3)T(−2; 5; 0)3Oxy
C(−2; 5; 3) mərkəzli, koordinat müstəvisinə toxunan sferalar
MüstəviRadiusToxunma nöqtəsiTənliyin sağ tərəfi
Oxy (z = 0)|3| = 3(−2; 5; 0)9
Oyz (x = 0)|−2| = 2(0; 5; 3)4
Oxz (y = 0)|5| = 5(−2; 0; 3)25
Nümunə 6Diametrin ucları

Diametrlərindən birinin ucları A(1; 0; 2) və B(3; 4; −2) olan sferanın tənliyini yazın.

  1. Mərkəz diametrin ortasıdır: x₀ = (1 + 3) : 2 = 2, y₀ = (0 + 4) : 2 = 2, z₀ = (2 − 2) : 2 = 0, yəni (2; 2; 0).
  2. AB² = 2² + 4² + (−4)² = 36, AB = 6, radius diametrin yarısıdır: r = 3.
  3. Yoxlama: A üçün (1 − 2)² + (0 − 2)² + 2² = 9 ✓.

    (x − 2)² + (y − 2)² + z² = 9

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Mərkəzin işarələri

Səhv

(x + 3)² … → mərkəz (3; −2; 1)

Mötərizədəki işarələr olduğu kimi köçürülüb.

Düz

mərkəz (−3; 2; −1)

(x + 3)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 16: x + 3 = x − (−3), ona görə x₀ = −3.

Radius və onun kvadratı

Səhv

r = 16

Sağ tərəfdəki ədəd radius deyil.

Düz

r² = 16, r = 4

Tərsinə də: radius 4 olan sferanın tənliyində sağda 16 yazılır, 4 yox.

Nöqtədən sferaya məsafə

Səhv

məsafə = AM = 7

Bu, mərkəzə qədər məsafədir.

Düz

AM − r = 7 − 4 = 3

Sferanın ən yaxın nöqtəsi AM üzərindədir (Nümunə 4).

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Mərkəzi (0; −3; 2) nöqtəsində, radiusu 2 olan sferanın tənliyi hansıdır?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! y − (−3) = y + 3, sağda isə 2² = 4.

    Mötərizədə «koordinat çıxılsın mərkəzin koordinatı» yazılır, sağda isə radiusun kvadratı.

    Həllə bax

    (x − 0)² + (y − (−3))² + (z − 2)² = 2², yəni x² + (y + 3)² + (z − 2)² = 4.

  2. Asan

    (x − 4)² + (y + 1)² + z² = 36 sferasının mərkəzi və radiusu hansıdır?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! İşarələr tərsinə, radius isə √36.

    Mərkəzin koordinatları mötərizədəki ədədlərin əks işarəlisidir, radius sağ tərəfin köküdür.

    Həllə bax

    x − 4 ⇒ x₀ = 4; y + 1 = y − (−1) ⇒ y₀ = −1; z² = (z − 0)² ⇒ z₀ = 0. r² = 36 ⇒ r = 6.

  3. Orta

    x² + y² + z² + 6x − 2z + 1 = 0 sferasının mərkəzi və radiusu hansıdır?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! 9 + 1 − 1 = 9, r = 3.

    Tam kvadratları qur, sonra sərbəst həddi sağa keçirəndə onun işarəsini dəyiş.

    Həllə bax

    x² + 6x = (x + 3)² − 9, z² − 2z = (z − 1)² − 1. Onda (x + 3)² + y² + (z − 1)² = 9 + 1 − 1 = 9: mərkəz (−3; 0; 1), r = 3.

  4. Orta

    Hansı tənlik sfera deyil?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! Sağ tərəf −5 alınır.

    Hər tənliyi tam kvadratlara ayır və sağ tərəfin işarəsinə bax.

    Həllə bax

    (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 1 + 4 − 10 = −5 — heç bir nöqtə yoxdur. Digərləri: x² + y² + (z − 2)² = 4 və x² + y² + z² = 4 — hər ikisi radiusu 2 olan sferadır.

  5. Çətin

    Mərkəzi (3; −4; 5) nöqtəsində olan və Oyz müstəvisinə toxunan sferanın tənliyi hansıdır?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! Oyz-ə (x = 0) qədər məsafə |x₀| = 3‑dür.

    Oyz müstəvisinin tənliyi x = 0‑dır. Mərkəzdən ona qədər məsafəni hansı koordinat verir?

    Həllə bax

    Radius toxunma nöqtəsinə çəkilir və müstəviyə perpendikulyardır, ona görə r mərkəzdən Oyz-ə qədər məsafədir: r = |3| = 3, r² = 9. 25 Oxy-ə, 16 isə Oxz-ə toxunan sferaya aiddir.

  6. Çətin

    x² + y² + z² = 25 sferası ilə z = −3 müstəvisinin kəsişməsi nədir?

    Sual 6 variantları

    Düzdür! x² + y² = 25 − 9 = 16, radius 4.

    z-in yerinə −3 yaz: (−3)² = 9 müsbətdir. Sonra radius üçün kökü unutma.

    Həllə bax

    x² + y² + (−3)² = 25 ⇒ x² + y² = 16: z = −3 müstəvisində mərkəzi (0; 0; −3), radiusu √16 = 4 olan çevrə. Müstəvi mərkəzdən 3 vahid aşağıdadır, 3 < 5, ona görə sferanı kəsir.

Dərslikdəki çalışmaların cavabları (səh. 62–63, 1–14)

«Dərslik» — dərsliyin «Cavablar» bölməsində çap olunan cavab (səh. 313). «Bu dərsin hesabı» — dərslikdə cavabı verilməyən çalışmalar üçün bu dərsdə hesablanmış cavab.

№CavabMənbə
1a) x² + y² + z² = 16; b) (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 4)² = 36dərslik
2(0; 0; 0), (2; 0; 0), (0; −6; 0), (0; 0; 10)dərslik
3(x − 2)² + (y − 3)² + (z + 1)² = 24 (səh. 68, №14 eyni tapşırıqdır)dərslik
417dərslik
5a) mərkəz (2; 3; 5), r = 1; b) sağ tərəf −1 — sfera deyil; c) z²‑nin əmsalı −1 — sfera deyil; d) mərkəz (−1; −1; −1), r = 5bu dərsin hesabı
6mərkəz M(−1; 8; −5), r = 6; A-dan sferaya məsafə 11 vahiddərslik
7(x − 3)² + (y − 4)² + (z − 7)² = 49 və ya (x − 3)² + (y − 4)² + (z + 7)² = 49dərslik
8a) mərkəzi O, radiusu 1 olan sferadan kənardakı nöqtələr; b) radiusu 1 olan kürənin yuxarı yarısı (sərhədi ilə birlikdə)bu dərsin hesabı
93x² + 3y² + 3z² − 50x − 6y + 22z + 141 = 0: mərkəz (25/3; 1; −11/3), r² = 332/9bu dərsin hesabı
10a) (x − 2)² + (y + 3)² + (z − 6)² = 36dərslik
10b) Oyz: … = 4 (r = 2); c) Oxz: … = 9 (r = 3)bu dərsin hesabı
11(x − 3)² + (y − 2)² + (z − 7)² = 11bu dərsin hesabı
12a) (x − 6)² + (y − 8)² + (z + 5)² = 36; b) Oxy ilə: (x − 6)² + (y − 8)² = 11 çevrəsi; Oyz ilə: yalnız (0; 8; −5) nöqtəsi (toxunur); Oxz ilə: ortaq nöqtə yoxdurbu dərsin hesabı
13mərkəz (3/2; 1; −1/2), r² = 1/2bu dərsin hesabı
14r = 1; dördüncü mərkəz (−√2/3; −√2/3; −√2/3)bu dərsin hesabı

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Tənlik — məsafə düsturu(x − x₀)² + (y − y₀)² + (z − z₀)² = r²: mərkəz işarəsi tərsinə oxunur, sağda radiusun kvadratıdır.
  • Açılmış tənlik — tam kvadratQruplaşdır, kvadratlara tamamla, sağ tərəfə bax: müsbət — sfera, sıfır — nöqtə, mənfi — heç nə.
  • Kəsik, toxunma, məsafəz = h yerinə qoy: çevrə, bir nöqtə və ya boş. Toxunan müstəvi radiusa perpendikulyardır; nöqtədən sferaya məsafə AM − r.

Növbəti mövzu: 6.16 Fəzada və müstəvidə çevrilmələr — paralel köçürmə, simmetriya, dönmə və homotetiya.