• 6.53
  • 11-ci sinif
  • İnteqral

İbtidai funksiya. Qeyri-müəyyən inteqral

Törəməsi 2x olan funksiya hansıdır? x²? Bəli — amma x² + 3 və x² − 2 də. Cavab bir funksiya deyil, bütöv ailədir, və ondan birini seçmək üçün bir nöqtə kifayətdir.

Bu dərsdə

  • ibtidai funksiyanı tanıyacaq və onu törəmə alaraq yoxlayacaqsan;
  • qeyri-müəyyən inteqralı cədvəl və xassələrlə tapacaqsan;
  • verilmiş nöqtədən keçən ibtidaini seçəcək, sürətdən hərəkət qanununu bərpa edəcəksən.
Törəməsi 2x olan funksiyalar ailəsi Üç parabola: y = x² + 3, y = x² və y = x² − 2. Onlar bir-birindən yalnız şaquli sürüşmə ilə fərqlənir. x = 1 düz xəttində üçünə çəkilən narıncı toxunanlar paraleldir, çünki hər birinin törəməsi 2x-dir və x = 1-də bucaq əmsalı 2-dir. M(2; 2) nöqtəsi yalnız y = x² − 2 əyrisinin üzərindədir, ona görə bu nöqtə C = −2-ni seçir. x = 1 x² + 3 x² x² − 2 M(2; 2) F′(x) = 2x C = −2
  1. Tərs məsələ
  2. İbtidai funksiya
  3. Qeyri-müəyyən inteqral
  4. Cədvəl və xassələr
  5. Hesabla
  6. Nöqtədən keçən
  7. Diqqət
  8. Həyatda
  9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Törəmənin tərsi

Sərbəst düşən cismin t zamanında getdiyi yol s(t) = gt2/2 düsturu ilə tapılır. Dərslik qeyd edir ki, bu düsturu Qaliley təcrübə yolu ilə tapıb.

Törəmə ilə buradan sürəti və təcili alırıq: v(t) = s′(t) = gt, a(t) = v′(t) = g. Bəs tərsinə? Təcil məlumdursa, sürəti və yolu necə tapaq? Bunun üçün törəməsinə görə funksiyanı bərpa etməyi bacarmalıyıq. Bu əməl diferensiallamanın tərsidir və inteqrallama adlanır.

Diferensiallama və inteqrallama tərs əməllərdir Solda F(x) = x² (ibtidai funksiya), sağda f(x) = 2x (onun törəməsi). Yuxarı ox soldan sağa: diferensiallama, F-dən f alınır. Aşağı ox sağdan sola: inteqrallama, f-dən F bərpa olunur. F(x) = x² ibtidai f(x) = 2x törəmə diferensiallama inteqrallama
Yuxarı ox: F-dən törəmə alıb f-i tapırıq. Aşağı ox: f verilib, F-i axtarırıq.

Sual belə qoyulur: hansı funksiyanın törəməsi 2x-dir?

Törəmə cədvəlini tərsinə oxuyuruq: (x2)′ = 2x. Deməli, x2 uyğundur. Bu funksiyaya 2x-in ibtidai funksiyası deyilir.

2 · Qayda

İbtidai funksiya nədir?

Yadda saxla

Verilmiş aralığın bütün nöqtələrində F′(x) = f(x) bərabərliyini ödəyən F(x) funksiyasına həmin aralıqda f(x) funksiyasının ibtidai funksiyası deyilir.

F′(x) = f(x)

«Aralıq» sözü vacibdir. Məsələn, 1/x funksiyası x = 0-da təyin olunmayıb, ona görə onun ibtidaisi x > 0 və x < 0 aralıqlarında ayrıca axtarılır.

İbtidai funksiya yeganə deyil

Sabitin törəməsi sıfırdır, ona görə (x2)′ = (x2 + 3)′ = (x2 − 2)′ = 2x. Dərsin əvvəlindəki şəkildə üç parabola bir-birindən yalnız şaquli sürüşmə ilə fərqlənir. Eyni x nöqtəsində hamısının törəməsi eynidir, yəni toxunanların bucaq əmsalı eynidir: x = 1-də üç narıncı toxunan paraleldir, hər birinin əmsalı 2-dir.

Başqa ibtidai yoxdurmu? Tutaq ki, F1 və F2 eyni f-in iki ibtidaisidir. Fərqlərinə baxaq: g = F1 − F2.

g′(x) = f(x) − f(x) = 0

Aralığın hər nöqtəsində törəməsi sıfır olan funksiya sabitdir: g(x) = C. Deməli, F1(x) = F2(x) + C: bir ibtidai tapdınsa, qalanlarının hamısı ona sabit əlavə etməklə alınır.

F(x) + C yazılışına ibtidai funksiyaların ümumi şəkli deyilir. Bu, bir funksiya deyil, funksiyalar çoxluğudur: C-yə hər qiymət verdikdə ailənin bir üzvü alınır.

3 · Qayda

Qeyri-müəyyən inteqral

Yadda saxla

Müəyyən aralıqda f(x) funksiyasının bütün ibtidai funksiyaları çoxluğuna həmin aralıqda onun qeyri-müəyyən inteqralı deyilir.

∫ f(x) dx = F(x) + C

Belə oxunur: «inteqral ef iks de iks». Törəməsinə görə funksiyanın tapılmasına inteqrallama deyilir.

Qeyri-müəyyən inteqral yazılışının hissələri ∫ f(x) dx = F(x) + C yazılışı. 1 — inteqral işarəsi, 2 — inteqralaltı funksiya f(x), 3 — dx, x inteqrallama dəyişənidir, 4 — ibtidai funksiya F(x), 5 — inteqrallama sabiti C. 1 2 3 4 5 ∫ f(x) dx = F(x) + C
  1. ∫ — inteqral işarəsi
  2. f(x) — inteqralaltı funksiya
  3. dx — x inteqrallama dəyişənidir
  4. F(x) — ibtidai funksiya
  5. C — inteqrallama sabiti

Cavabı yoxlamaq həmişə mümkündür: tapdığın funksiyanın törəməsini al. İnteqralaltı funksiya alınırsa, cavab doğrudur. Məsələn, ∫ 5 dx = 5x + C, çünki (5x + C)′ = 5; ∫ cos x dx = sin x + C, çünki (sin x + C)′ = cos x.

Törəmə inteqralı «açır»

(∫ f(x) dx)′ = f(x)

Yoxlamanın özü budur.

İnteqral törəməni «açır»

∫ f′(x) dx = f(x) + C

Amma sabit itdiyi üçün + C qayıdır.

4 · Cədvəl

İbtidai funksiyalar cədvəli

Hər sətir törəmə cədvəlinin tərsinə oxunmasıdır. Sağ sütundakı funksiyanın törəməsini alsan, sol sütundakı funksiya alınar.

Əsas qeyri-müəyyən inteqrallar
f(x)∫ f(x) dx
k (sabit)kx + C
xn, n ≠ −1xn+1n + 1 / + C
1x / ln |x| + C
exex + C
axaxln a / + C
sin x−cos x + C
cos xsin x + C
1cos2 x / tan x + C
1sin2 x / −cot x + C

Niyə n ≠ −1? n = −1 olanda düstur x0/0 verərdi — sıfıra bölmək olmaz. x−1 = 1/x üçün ayrıca sətir var: (ln |x|)′ = 1/x.

Xətti arqument: 1/k vuruğu. Arqument kx + b olduqda cavab eyni qalır, sadəcə k-ya bölünür, çünki mürəkkəb funksiyanın törəməsi k vuruğunu yaradır.

∫ cos kx dx = 1k / sin kx + C ∫ sin kx dx = −1k / cos kx + C ∫ ekx dx = 1k / ekx + C ∫ dxkx + b / = 1k / ln |kx + b| + C

Xassələr. Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir, sabit vuruq inteqral işarəsindən çıxır:

∫ (f + g) dx = ∫ f dx + ∫ g dx ∫ k · f dx = k ∫ f dx

Fərq üçün də eynidir. Amma hasil və nisbət üçün düstur yoxdur: əvvəlcə ifadəni cəm və ya fərq şəklinə gətirmək lazımdır.

5 · Hesabla

İnteqralı tap, törəmə ilə yoxla

Nümunə 1Çoxhədli

∫ (3x5 + 9x2 − 5) dx inteqralını tapın.

  1. Hər həddi ayrıca inteqrallayırıq, sabit vuruqlar qalır: 3 · x6/6, 9 · x3/3, −5x.
  2. Sadələşdiririk və bir dənə C yazırıq (həddlərin sabitləri birləşir).
  3. Yoxlama: (x6/2 + 3x3 − 5x)′ = 3x5 + 9x2 − 5 ✓

    x6/2 + 3x3 − 5x + C

Nümunə 2Kök

∫ 5√x dx inteqralını tapın.

  1. Kökü qüvvət kimi yazırıq: √x = x1/2, deməli n = 1/2.
  2. Üstü 1 artırırıq: 1/2 + 1 = 3/2, və 3/2-yə bölürük, yəni 2/3-ə vururuq: 5 · x3/2 · 2/3.
  3. Yoxlama: (10/3 · x3/2)′ = 10/3 · 3/2 · x1/2 = 5√x ✓

    103 / x√x + C

Nümunə 3Xətti arqument

∫ (6 cos 3x + 42x − 1 / ) dx inteqralını tapın (x ≠ 1/2 olan aralıqda).

  1. k = 3: ∫ 6 cos 3x dx = 6 · 13 / sin 3x = 2 sin 3x.
  2. k = 2: ∫ 42x − 1 / dx = 4 · 12 / ln |2x − 1| = 2 ln |2x − 1|.
  3. Yoxlama: (2 sin 3x)′ = 6 cos 3x, (2 ln |2x − 1|)′ = 2 · 2/(2x − 1) = 4/(2x − 1) ✓

    2 sin 3x + 2 ln |2x − 1| + C

Nümunə 4Əvvəl sadələşdir

∫ x3 + 2xx2 / dx inteqralını tapın (x ≠ 0).

  1. Nisbət üçün düstur yoxdur — surəti hədd-hədd məxrəcə bölürük: x3/x2 + 2x/x2 = x + 2/x.
  2. İndi cədvəl işləyir: ∫ x dx = x2/2, ∫ 2/x dx = 2 ln |x|.
  3. Yoxlama: (x2/2 + 2 ln |x|)′ = x + 2/x ✓

    x2/2 + 2 ln |x| + C

6 · Nöqtədən keçən

Ailədən bir əyri seçmək

Qeyri-müəyyən inteqral bütöv ailə verir. Məsələdə əlavə şərt — qrafikin keçdiyi nöqtə — varsa, C tapılır və ailədən bir funksiya qalır. Ailənin əyriləri kəsişmir (fərqləri sabitdir), ona görə hər nöqtədən yalnız bir əyri keçir.

f(x) = 2x-in ibtidaisi hansı nöqtədən keçsin?
Nöqtə ibtidai funksiyalar ailəsindən bir əyri seçir f(x) = 2x funksiyasının üç ibtidaisi: y = x² + 2, y = x² və y = x² − 2. P(−1; 3) nöqtəsi yalnız y = x² + 2 əyrisinin, M(2; 2) nöqtəsi yalnız y = x² − 2 əyrisinin üzərindədir. Seçilmiş nöqtənin əyrisi qalın mavi göstərilir. x² + 2 x² x² − 2 P M

M(2; 2): F(x) = x2 + C, F(2) = 4 + C = 2, C = −2. Cavab: F(x) = x2 − 2.

P(−1; 3): F(−1) = 1 + C = 3, C = 2. Cavab: F(x) = x2 + 2.

Qırıq xətlər seçilməyən ailə üzvləridir, düz boz xətt y = x2-dir. Seçilmiş nöqtənin əyrisi qalın mavi olur.
Nümunə 5C-ni tap

f(x) = 3x2 − 2 funksiyasının qrafiki A(1; 4) nöqtəsindən keçən ibtidaisini tapın.

  1. Ümumi şəkil: F(x) = x3 − 2x + C.
  2. Nöqtənin koordinatlarını yerinə yazırıq: F(1) = 1 − 2 + C = 4.
  3. Buradan C = 5. Yoxlama: F(1) = 1 − 2 + 5 = 4 ✓

    F(x) = x3 − 2x + 5

7 · Diqqət

İşarə və 1/k vuruğu

Səhv

∫ sin x dx = cos x + C

Yoxla: (cos x)′ = −sin x — işarə tərsdir.

Düzgün

∫ sin x dx = −cos x + C

(−cos x)′ = sin x.

Səhv

∫ cos 5x dx = 5 sin 5x + C

Bu törəmə qaydasıdır: törəməsi 25 cos 5x çıxır.

Düzgün

∫ cos 5x dx = 15 / sin 5x + C

İnteqralda k-ya bölürük, vurmuruq.

Daha iki tez-tez rast gələn səhv: inteqral əvəzinə törəmə almaq (∫ x3 dx üçün 3x2 yazmaq) və + C-ni unutmaq. Hamısını bir vərdiş tutur: cavabın törəməsini al.

8 · Həyatda

Sürətdən hərəkət qanununa

Koordinatın zamana görə törəməsi sürətdir: x′(t) = v(t). Deməli, sürət məlum olanda koordinat onun ibtidaisidir, başlanğıc vəziyyət isə C-ni təyin edir.

Sürət qrafiki və ondan tapılan koordinat qrafiki Üstdə sürət v(t) = 2t − 3 düz xətti: t = 0-da −3, t = 1,5-də sıfır, sonra müsbət. Altda koordinat x(t) = t² − 3t parabolası: t = 1,5-ə qədər azalır və ən kiçik qiyməti −2,25-dir, t = 3-də yenidən 0 olur, t = 4-də 4-ə çatır. Qırıq xətt t = 1,5 anını hər iki qrafikdə birləşdirir. v(t) = 2t − 3 x(t) = t² − 3t v < 0 — geri v > 0 — irəli v = 0 ən kiçik: x = −2,25 x(3) = 0
Narıncı — sürət, mavi — koordinat. Sürət mənfi olduqca nöqtə geri gedir və x azalır; v = 0 anında x ən kiçikdir.
Nümunə 6Nöqtənin hərəkəti

Düz xətt üzrə hərəkət edən nöqtənin sürəti v(t) = 2t − 3-dür. t = 0 anında nöqtə koordinat başlanğıcında olub. x(t)-ni tapın.

  1. İbtidai: x(t) = ∫ (2t − 3) dt = t2 − 3t + C.
  2. Başlanğıc şərt: x(0) = 0 + C = 0, yəni C = 0.

    x(t) = t2 − 3t

  3. Qrafiki oxuyuruq: 0 < t < 1,5-də v < 0, nöqtə mənfi istiqamətdə gedir. t = 1,5-də dayanır: x(1,5) = 2,25 − 4,5 = −2,25. Sonra irəli gedir, t = 3-də başlanğıca qayıdır (x(3) = 0), t = 4-də x = 4.

Qalileyin düsturuna qayıdaq. Təcil sabitdir: v′ = g. Onda v(t) = gt + C1; cisim sükunətdən düşürsə, v(0) = 0 və C1 = 0. Sonra s(t) = ∫ gt dt = gt2/2 + C2, yol sıfırdan sayılırsa, C2 = 0. İki dəfə inteqrallayıb s = gt2/2 düsturunu geri aldıq.

Sadələşdirmə: hava müqaviməti nəzərə alınmır.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    ∫ x4 dx nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Üst 1 artır və yeni üstə bölünür.

    Yox. Cavabın törəməsini al: x4 alınmalıdır.

    Həllə bax

    ∫ x4 dx = x5/5 + C, çünki (x5/5)′ = x4. 4x3 törəmədir, x5-in törəməsi isə 5x4-dür.

  2. Asan

    Hansı funksiya f(x) = 2x + 1-in ibtidai funksiyasıdır?

    Cavab variantları

    Əla! (x2 + x − 7)′ = 2x + 1, sabit isə istənilən ola bilər.

    Yox. Hər variantın törəməsini al və 2x + 1 ilə müqayisə et.

    Həllə bax

    (2x2 + x)′ = 4x + 1, (x2 + 1)′ = 2x, (x2 + x − 7)′ = 2x + 1. Yalnız sonuncu uyğundur; −7 ailənin bir üzvünü seçir.

  3. Orta

    ∫ sin 4x dx nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Düzdür: mənfi işarə və 1/4 vuruğu.

    Yox. İki şeyə bax: sin-in ibtidaisi −cos-dur, və k = 4-ə bölünür.

    Həllə bax

    ∫ sin kx dx = −cos kx/k + C. Yoxlama: (−cos 4x/4)′ = sin 4x · 4/4 = sin 4x.

  4. Orta

    x > 0 olduqda ∫ (3/x) dx nəyə bərabərdir?

    Cavab variantları

    Əla! (3 ln x)′ = 3/x.

    Yox. 1/x üçün qüvvət düsturu işləmir (n = −1) — cədvəldə ayrıca sətir var.

    Həllə bax

    Sabit vuruq çıxır: 3 ∫ dx/x = 3 ln x + C (x > 0). −3/x2 isə 3/x-in törəməsidir.

  5. Çətin

    F′(x) = 6x2 − 2 və F(1) = 3. F(2) neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! C = 3, F(2) = 16 − 4 + 3 = 15.

    Yox. Əvvəl F(1) = 3 şərtindən C-ni tap, işarəsinə diqqət et.

    Həllə bax

    F(x) = 2x3 − 2x + C. F(1) = 2 − 2 + C = 3, C = 3. F(2) = 16 − 4 + 3 = 15. 12 — C tapılmayıb, 9 — C = −3 götürülüb.

  6. Çətin

    Nöqtənin sürəti v(t) = 4 − 2t (m/san), x(0) = 1 m. t = 3 san anında koordinat neçə metrdir?

    Cavab variantları

    Əla! x(t) = 4t − t² + 1, x(3) = 4.

    Yox. Sürət koordinat deyil: v-nin ibtidaisini tap və x(0) = 1 şərtini nəzərə al.

    Həllə bax

    x(t) = 4t − t2 + C, x(0) = C = 1. x(3) = 12 − 9 + 1 = 4 m. −2 — bu v(3)-dür, 3 — başlanğıc koordinat unudulub.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • F′ = fF funksiyası f-in ibtidaisidir; cavabı həmişə törəmə ilə yoxla.
  • ∫ f dx = F + CQeyri-müəyyən inteqral bütöv ailədir; cədvəl, xassələr və 1/k vuruğu ilə tapılır.
  • Nöqtə → CVerilmiş nöqtə və ya başlanğıc vəziyyət (x(0)) ailədən bir funksiya seçir.

Növbəti mövzu: 6.54 Əyrinin əhatə etdiyi sahə