• 6.2
  • 11-ci sinif
  • Çoxhədlilər

Qalıq haqqında teorem

x3 − 4x2 + 2x + 5 çoxhədlisini x − 3-ə böləndə qalıq neçə olar? Bölməyə ehtiyac yoxdur: x-in yerinə 3 yaz. P(3) = 2 — qalıq da məhz 2-dir.

Bu dərsdə

  • çoxhədlinin x − m ikihədlisinə bölünməsindən alınan qalığı bölmə aparmadan, P(m) ilə tapacaqsan;
  • teoremi bir sətirlə isbat edəcək və cavabı Hörner sxemi ilə yoxlayacaqsan;
  • qalığa görə naməlum əmsalları və kvadrat ikihədliyə bölmədə qalığı tapacaqsan.
Qalıq iki yolla: Hörner sxemi və qrafikdə P(3) Yuxarıda x³ − 4x² + 2x + 5 çoxhədlisinin x − 3-ə bölünməsi üçün Hörner sxemi: 3 | 1, −4, 2, 5; alt sətir 1, −1, −1 və son xanada qalıq 2. Aşağıda y = P(x) qrafiki; x = 3 nöqtəsində qrafikin hündürlüyü 2-dir. Hər iki yol eyni cavaba gəlir: P(3) = 2. 0 y = P(x) 3 P(3) = 2 3 1−425 3−3−3 1−1−1 2 qalıq x − 3-ə bölmə
  1. Kəşf et
  2. Teorem
  3. Hesabla
  4. Parametr
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Qalıq qrafikdə harada görünür?

Ötən mövzuda çoxhədlini x − m ikihədlisinə Hörner sxemi ilə bölməyi öyrəndik: əmsallar dərəcənin azalma sırası ilə yazılır, alt sətrin son ədədi qalıqdır. İndi eyni P(x) = x3 − 4x2 + 2x + 5 çoxhədlisini müxtəlif ikihədlilərə bölək və qalığı qrafiklə müqayisə edək.

m-i seç: P(x)-i x − m-ə bölürük
y = x³ − 4x² + 2x + 5 qrafiki və x = −1, 0, 1, 2, 3 nöqtələri Qrafik x = −1-də −2, x = 0-da 5, x = 1-də 4, x = 2-də 1, x = 3-də 2 hündürlüyündən keçir. Seçilmiş m üçün x = m-də şaquli lime zolaq qrafikin hündürlüyünü, yəni x − m-ə bölmədən qalığı göstərir. −1 0 1 2 3 2 4 6 y = P(x) −1 P(−1) = −2 0 P(0) = 5 1 P(1) = 4 2 P(2) = 1 3 P(3) = 2

Bölən x + 1 (yəni x − (−1), m = −1):

−11−425
−15−7
1−57−2

Qismət x2 − 5x + 7, qalıq −2. Qrafikdə: P(−1) = −1 − 4 − 2 + 5 = −2.

Bölən x (yəni x − 0, m = 0):

01−425
000
1−425

Qismət x2 − 4x + 2, qalıq 5 — sərbəst hədd. Qrafikdə: P(0) = 5.

Bölən x − 1 (m = 1):

11−425
1−3−1
1−3−14

Qismət x2 − 3x − 1, qalıq 4. Qrafikdə: P(1) = 1 − 4 + 2 + 5 = 4.

Bölən x − 2 (m = 2):

21−425
2−4−4
1−2−21

Qismət x2 − 2x − 2, qalıq 1. Qrafikdə: P(2) = 8 − 16 + 4 + 5 = 1.

Bölən x − 3 (m = 3):

31−425
3−3−3
1−1−12

Qismət x2 − x − 1, qalıq 2. Qrafikdə: P(3) = 27 − 36 + 6 + 5 = 2.

Mavi kvadrat x oxunda m-i, lime zolaq qrafikin x = m-dəki hündürlüyünü göstərir. Beş bölmənin beşində də Hörner sxeminin son xanası bu hündürlüyə bərabərdir.

Təsadüf deyil. Hər dəfə qalıq P(m)-ə, yəni çoxhədlinin x = m nöqtəsindəki qiymətinə bərabər çıxdı. Növbəti mərhələdə bunun səbəbini görəcəyik.

2 · Teorem

Qalıq = P(m)

Qalıq haqqında teorem (Bezu teoremi)

P(x) çoxhədlisinin x − m ikihədlisinə bölünməsindən alınan qalıq P(x) çoxhədlisinin x = m nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir:

P(x) = (x − m) · Q(x) + P(m),
r = P(m)

İsbatı. Bölmə bərabərliyi P(x) = (x − m) · Q(x) + r hər x üçün doğrudur. x = m yazsaq, P(m) = (m − m) · Q(m) + r alınır. m − m = 0 olduğundan buradan r = P(m).

Teoremin isbatı: x = m yazanda birinci toplanan sıfır olur Yuxarıda P(x) = (x − m) · Q(x) + r. x-in yerinə m yazılır: P(m) = (m − m) · Q(m) + r. (m − m) sıfırdır, ona görə sıfır vurulsun Q(m) də sıfırdır və P(m) = r qalır. P(x)=(x − m)·Q(x)+r x = m P(m)=(m − m)·Q(m)+r (m − m) · Q(m) = 0 · Q(m) = 0 r = P(m)
Hər iki sətirdə hər hissə öz sütunundadır: x-in yerinə m yazanda qismət qalsa da, onun vuruğu (m − m) sıfır olur və yalnız qalıq qalır.

Teorem qalığı tapmağın iki yolunu birləşdirir: böl (Hörner sxemi) və ya yerinə qoy (P(m)-i hesabla). İkinci yol qalığı bölmə aparmadan verir, birinci yol isə həm qisməti, həm qalığı verir və cavabı yoxlamağa yarayır.

Bölən x + m olduqda

x + 4 = x − (−4)

Deməli, m = −4 və qalıq P(−4)-dür. İşarə həmişə əksinə dəyişir.

Bölən x olduqda

r = P(0)

x = x − 0, ona görə qalıq çoxhədlinin sərbəst həddidir.

Qalıqsız bölünmə

P(m) = 0

Qalıq 0 olarsa, P(x) x − m-ə qalıqsız bölünür. Növbəti mövzu bu fikirdən başlayır.

Bilmək maraqlıdır. Dərslikdə bu teorem «Bezu teoremi» adı ilə də verilir. Çoxhədlini ikihədliyə sintetik bölmə qaydasını isə ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Paolo Ruffini (1765–1822) vermişdir.

3 · Hesabla

Qalığı tap, sonra yoxla

Hər məsələdə üç addım var: bölənə görə m-i yaz, P(m)-i hesabla, istəsən Hörner sxemi ilə yoxla.

Nümunə 1Bölən x + 2

P(x) = 2x3 + x2 − 5x + 4 çoxhədlisinin x + 2 ikihədlisinə bölünməsindən alınan qalığı tapın.

  1. x + 2 = x − (−2), deməli m = −2.
  2. Teoremə görə: r = P(−2) = 2 · (−2)3 + (−2)2 − 5 · (−2) + 4 = −16 + 4 + 10 + 4 = 2.
  3. Hörner sxemi ilə yoxlayaq:
    −221−54
    −46−2
    2−312
    Alt sətrin son ədədi 2-dir; qismət 2x2 − 3x + 1.

    r = P(−2) = 2

Nümunə 2Hədlər qarışıq, bəziləri yoxdur

P(x) = 3x − x4 + 2 çoxhədlisini x − 2-yə böldükdə qalıq neçədir?

  1. Əvvəl hədləri dərəcənin azalma sırası ilə yazırıq və olmayan dərəcələri 0 ilə əlavə edirik: P(x) = −x4 + 0 · x3 + 0 · x2 + 3x + 2.
  2. m = 2: P(2) = −16 + 6 + 2 = −8.
  3. Yoxlama:
    2−10032
    −2−4−8−10
    −1−2−4−5−8
    Son xana −8 — cavab düzdür.

    r = −8

4 · Parametr

Qalıq məlumdursa, əmsalı tap

Teorem tərsinə də işləyir: qalıq verilibsə, P(m) = r bərabərliyi naməlum əmsal üçün tənlikdir. «Qalıqsız bölünür» isə P(m) = 0 deməkdir.

Nümunə 3Bir naməlum

a) x3 + ax2 − 4x + 3 çoxhədlisini x − 2-yə böldükdə qalıq 7-dir. a-nı tapın.
b) c-nin hansı qiymətində x3 − 2x2 + c çoxhədlisi x + 1-ə qalıqsız bölünür?

  1. a) P(2) = 8 + 4a − 8 + 3 = 4a + 3. Şərt: 4a + 3 = 7, deməli a = 1.
  2. b) m = −1: P(−1) = −1 − 2 + c = c − 3. Qalıqsız bölünmə: c − 3 = 0.

    a = 1; c = 3

Nümunə 4İki naməlum — iki qalıq

P(x) = x3 + ax2 + bx − 6 çoxhədlisi x − 1-ə qalıqsız bölünür, x + 1-ə böldükdə isə qalıq −8 olur. a və b-ni tapın.

  1. P(1) = 1 + a + b − 6 = 0, yəni a + b = 5.
  2. P(−1) = −1 + a − b − 6 = −8, yəni a − b = −1.
  3. Tənlikləri toplasaq: 2a = 4, a = 2, onda b = 3. Yoxla: P(1) = 1 + 2 + 3 − 6 = 0, P(−1) = −1 + 2 − 3 − 6 = −8.

    a = 2, b = 3

Nümunə 5Kvadrat ikihədliyə bölmədə qalıq

P(x) çoxhədlisini x − 1-ə böldükdə qalıq 3, x + 2-yə böldükdə qalıq −3 olur. P(x)-i x2 + x − 2-yə böldükdə alınan qalığı tapın.

  1. x2 + x − 2 = (x − 1)(x + 2). Bölən ikinci dərəcəli olduğundan qalığın dərəcəsi ondan kiçikdir: qalıq ax + b şəklindədir.
  2. P(x) = (x − 1)(x + 2) · Q(x) + ax + b. x = 1 yazsaq: P(1) = a + b = 3; x = −2 yazsaq: P(−2) = −2a + b = −3.
  3. Birincidən ikincini çıxsaq: 3a = 6, a = 2, b = 1.

    qalıq 2x + 1

5 · Diqqət

Üç tipik səhv

İşarəni çevirməyi unutmaq

Səhv

x + 3 → r = P(3)

Bölənin içindəki ədəd olduğu kimi götürülüb.

Düzgün

x + 3 = x − (−3), r = P(−3)

m bölənin sıfır olduğu x-dir.

x + 3-ə bölmədə m = −3-dür, 3 deyil Ədəd oxunda −3 nöqtəsi mavi ilə işarələnib: x + 3 = 0 olanda x = −3. 3 nöqtəsi qırmızı çarpazla işarələnib: P(3) bu bölmənin qalığı deyil. −4 −2 −1 0 1 2 4 −3 x + 3 = 0 ⇒ m = −3 3 P(3) deyil
x + 3 = 0 olan nöqtə −3-dür; qalıq bu nöqtədəki qiymətdir.

Sıfır əmsalları buraxmaq

−x4 + 3x + 2 üçün Hörner sxeminə yalnız −1, 3, 2 yazsaq, bu artıq başqa çoxhədlidir (−x2 + 3x + 2):

2−132
−22
−114

Alınan 4 səhvdir; Nümunə 2-də x3 və x2 üçün iki sıfırla düz cavab −8 idi. Yoxlamaq üçün sadə yol: P(2) = −16 + 6 + 2 = −8.

Teorem qisməti vermir

Biri deyir: «(x3 + 8) : (x + 2) = x2 + 4, çünki P(−2) = −8 + 8 = 0.»

P(−2) = 0 yalnız onu göstərir ki, bölmə qalıqsızdır. Qisməti teorem demir — onu bölmə ilə tapırıq. Yoxlama: (x + 2)(x2 + 4) = x3 + 2x2 + 4x + 8 ≠ x3 + 8. Hörner sxemi düz qisməti verir: x2 − 2x + 4.

6 · Həyatda

Qutunun tilini yoxla

Düzbucaqlı paralelepiped formalı qutunun həcmi V(x) = 2x3 + 9x2 + 13x + 6 (sm3) çoxhədlisi ilə verilir. Tillərdən biri x + 2 ola bilərmi? Bəs x + 3?

Həcmi 2x³ + 9x² + 13x + 6 olan qutu Düzbucaqlı paralelepiped. Şaquli til x + 2 mavi ilə yoxlanılır; üst üzün tilləri 2x + 3 və x + 1-dir, onun sahəsi 2x² + 5x + 3 — bölmənin qisməti, narıncı. x + 2 2x + 3 x + 1 2x² + 5x + 3 V(x)
Həcm = üç tilin hasili. x + 2 til olarsa, V(x) ona qalıqsız bölünməlidir, qismət isə qalan iki tilin hasili — üst üzün sahəsidir.
  1. V(−2) = −16 + 36 − 26 + 6 = 0 — x + 2-yə qalıqsız bölünür, til ola bilər.
  2. V(−3) = −54 + 81 − 39 + 6 = −6 ≠ 0 — x + 3 til ola bilməz.
  3. Qalan iki tili Hörner sxemi verir:
    −229136
    −4−10−6
    2530
    2x2 + 5x + 3 = (x + 1)(2x + 3).

Məsələn, x = 4 sm olduqda tillər 5 sm, 6 sm və 11 sm-dir: V(4) = 128 + 144 + 52 + 6 = 330 sm3, həqiqətən də 5 · 6 · 11 = 330.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    x3 − 2x + 5 çoxhədlisini x − 2-yə böldükdə qalıq neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! P(2) = 8 − 4 + 5 = 9.

    Yox. x − 2-yə bölmədə m = 2-dir (−2 deyil) və bütün hədləri hesablamaq lazımdır.

    Həllə bax

    m = 2: P(2) = 23 − 2 · 2 + 5 = 8 − 4 + 5 = 9.

  2. Asan

    4x3 − x + 7 çoxhədlisini x-ə böldükdə qalıq neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! x = x − 0, qalıq P(0) = 7.

    Yox. x-ə bölmək x − 0-a bölməkdir: m = 0, 1 deyil.

    Həllə bax

    m = 0: P(0) = 0 − 0 + 7 = 7 — sərbəst hədd.

  3. Orta

    x2 + 5x + 1 çoxhədlisini x + 3-ə böldükdə qalıq neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! P(−3) = 9 − 15 + 1 = −5.

    Yox. x + 3 = x − (−3), yəni P(−3)-ü hesabla.

    Həllə bax

    m = −3: P(−3) = (−3)2 + 5 · (−3) + 1 = 9 − 15 + 1 = −5.

  4. Orta

    k-nın hansı qiymətində x3 + kx − 6 çoxhədlisi x − 2-yə qalıqsız bölünür?

    Cavab variantları

    Düzdür! P(2) = 2 + 2k = 0.

    Yox. Şərt P(2) = 0-dır: 8 + 2k − 6 = 0 tənliyini diqqətlə həll et.

    Həllə bax

    P(2) = 8 + 2k − 6 = 2k + 2. Qalıqsız bölünmə: 2k + 2 = 0, k = −1.

  5. Çətin

    x3 − 7x + 6 çoxhədlisi hansı ikihədliyə qalıqsız bölünür?

    Cavab variantları

    Düzdür! P(2) = 8 − 14 + 6 = 0.

    Yox. Hər bölən üçün m-i yaz: x + 2 üçün m = −2 və P(−2) = 12 ≠ 0.

    Həllə bax

    P(−2) = −8 + 14 + 6 = 12, P(3) = 27 − 21 + 6 = 12, P(−1) = −1 + 7 + 6 = 12 — qalıq var. P(2) = 0, deməli x − 2-yə qalıqsız bölünür. Diqqət: P(2) = 0 olması x + 2-yə yox, x − 2-yə bölünmə deməkdir.

  6. Çətin

    P(x)-i x − 2-yə böldükdə qalıq 7, x + 1-ə böldükdə qalıq −2 olur. P(x)-i (x − 2)(x + 1)-ə böldükdə qalıq nədir?

    Cavab variantları

    Əla! 2a + b = 7 və −a + b = −2-dən a = 3, b = 1.

    Yox. Qalığı ax + b yaz və x = 2, x = −1 qoyaraq iki tənlik qur.

    Həllə bax

    P(x) = (x − 2)(x + 1) · Q(x) + ax + b. x = 2: 2a + b = 7; x = −1: −a + b = −2. Çıxsaq: 3a = 9, a = 3, b = 1. Qalıq 3x + 1.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • r = P(m)P(x)-i x − m-ə böldükdə qalıq P(x)-in x = m-dəki qiymətidir; x + m-ə bölmədə P(−m).
  • P(m) = r — tənlikQalıq verilibsə və ya bölmə qalıqsızdırsa (r = 0), naməlum əmsallar bu bərabərlikdən tapılır.
  • Hörner — yoxlamaTeorem yalnız qalığı verir; qisməti və yoxlamanı Hörner sxemi verir.

Növbəti mövzu: 6.3 Çoxhədlinin vuruqları haqqında teorem