• 6.61
  • 11-ci sinif
  • Statistika

Məlumatın paylanma formaları

Histoqramın uzun «quyruğu» hansı tərəfə uzanır? Bu sualın cavabı moda, median və ədədi ortanın hansı sıra ilə düzüldüyünü hesablamadan da deyir.

Bu dərsdə

  • histoqramın formasını adlandıracaqsan: simmetrik, sağa əyilmə, sola əyilmə, qarışıq;
  • hər formada moda, median və ədədi ortanın sırasını deyəcək və ortanın niyə quyruğa çəkildiyini izah edəcəksən;
  • verilənlərdən Mo, Me, x̄ tapıb formanı, x̄ ilə Me-dən isə modanın yerini müəyyən edəcəksən.
Sağa əyilmiş histoqramda moda, median və ədədi orta Doqquz sütunlu histoqram: x oxunda 1-dən 9-a qədər qiymətlər, f oxunda tezlik. Ən hündür sütun x = 2-dədir, sağa doğru sütunlar alçalır və uzun quyruq əmələ gətirir. Üç kəsik xətt: moda x = 2-də, median x = 3-də, ədədi orta x = 3,725-də. Kartda: sağa əyilmə, Mo < Me < x̄. Mo Me x̄ quyruq Sağa əyilmə Mo < Me < x̄
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. Hesabla
  4. Diqqət
  5. Həyatda
  6. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir böyük maaş ortanı hara aparır?

Dərslikdəki nümunədə 10 nəfərin həftəlik maaşları verilib: 120, 160, 90, 175, 110, 80, 220, 150, 300, 95. Onların ədədi ortası x̄ = 1500 : 10 = 150-dir. İndi medianı da tapaq və hər ikisini ədəd oxunda görək.

On maaş ədəd oxunda: median 135, ədədi orta 150 Ədəd oxunda 60-dan 320-yə qədər on nöqtə: 80, 90, 95, 110, 120, 150, 160, 175, 220 və tək uzaqda duran 300. Mavi kəsik xətt median 135-i, qırmızı kəsik xətt ədədi orta 150-ni göstərir. Ədədi orta mediandan sağdadır, 300-ə tərəf. Me = 135 x̄ = 150 300
Sıralanmış maaşlar: 80, 90, 95, 110, 120, 150, 160, 175, 220, 300. Median iki ortadakının ortasıdır: Me = (120 + 150) : 2 = 135. Ədədi orta ondan sağdadır.

Niyə x̄ mediandan böyük çıxdı? Ədədi orta bütün qiymətlərin cəmindən asılıdır, median isə yalnız sıradakı yerdən. Tutaq ki, 300 əvəzinə 200 olsaydı: cəm 1400, x̄ = 140 olardı, median isə yenə 135 qalardı. Tək bir böyük qiymət ortanı özünə tərəf çəkir, medianı isə demək olar tərpətmir.

Belə uzaq qiymətlər histoqramda bir tərəfə uzanan quyruq yaradır. 6.60-da gördük ki, histoqramın forması səpələnmə haqqında fikir verir; indi görəcəyik ki, o, mərkəzi ölçülərin yerini də göstərir.

2 · Qayda

Paylanmanın formaları

Yadda saxla

Məlumata uyğun tezliyin paylanmasına görə tezlik poliqonu müxtəlif formalarda, məsələn, sağa sürüşmüş, sola sürüşmüş, qarışıq, simmetrik formada ola bilər.

İki tərəf zirvəyə nəzərən güzgü kimi eynidirsə, paylanma simmetrikdir. Bir tərəf uzun quyruq kimi uzanırsa, asimmetrikdir: quyruq sağdadırsa — sağa əyilmə, soldadırsa — sola əyilmə.

Mo < Me < x̄ sağa əyilməMo = Me = x̄ simmetrikx̄ < Me < Mo sola əyilmə

Mo — moda, Me — median, x̄ — ədədi orta. Moda zirvənin altında, median ortada, ədədi orta isə quyruq tərəfdə olur.

Hansı formaya baxaq?

Sağa əyilmə

Sağa əyilmə: Mo = 2, Me = 3, x̄ = 3,725 Histoqram: x = 1-dən 9-a, tezliklər 4, 10, 8, 6, 4, 3, 2, 2, 1. Zirvə x = 2-də, quyruq sağa uzanır. Soldan sağa narıncı moda xətti 2-də, mavi median xətti 3-də, qırmızı ədədi orta xətti 3,725-də. Mo Me x̄ quyruq

Simmetrik

Simmetrik: Mo = Me = x̄ = 5 Histoqram: x = 1-dən 9-a, tezliklər 1, 2, 4, 7, 10, 7, 4, 2, 1. Zirvə ortada, x = 5-də, iki tərəf eynidir. Moda, median və ədədi orta eyni xətt üzərindədir, x = 5. Mo = Me = x̄

Sola əyilmə

Sola əyilmə: x̄ = 6,275, Me = 7, Mo = 8 Histoqram: x = 1-dən 9-a, tezliklər 1, 2, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 4. Zirvə x = 8-də, quyruq sola uzanır. Soldan sağa qırmızı ədədi orta xətti 6,275-də, mavi median xətti 7-də, narıncı moda xətti 8-də. x̄ Me Mo quyruq

Sağa əyilmə: zirvə solda (x = 2), quyruq sağa uzanır. Soldan sağa: Mo = 2, Me = 3, x̄ = 149 : 40 = 3,725. Quyruqdakı böyük qiymətlər ortanı sağa çəkir: Mo < Me < x̄.

Simmetrik: iki tərəf eynidir, zirvə ortadadır. Mo = Me = x̄ = 5: sağdakı və soldakı qiymətlər ortanı bərabər çəkir, üçü bir xətt üzərindədir.

Sola əyilmə: zirvə sağda (x = 8), quyruq sola uzanır. Soldan sağa: x̄ = 6,275, Me = 7, Mo = 8. Kiçik qiymətlər ortanı sola çəkir: x̄ < Me < Mo.

Panellərdəki tezliklər bu dərs üçün seçilmiş nümunə ədədlərdir; sağa və sola əyilmə bir-birinin güzgü əksidir. Dərslikdə də hər forma histoqram və onun üzərindəki hamar əyri ilə göstərilir.

Qarışıq forma

İki zirvəli tezlik poliqonu eskizi

Dərslik qarışıq formanı da adlandırır: məsələn, poliqonun iki zirvəsi ola bilər. Bu dərsdə əsas diqqət yuxarıdakı üç formadadır.

Yadda saxlamaq üçün

quyruq → x̄

Ədədi orta quyruğa tərəf çəkilir; moda zirvədə qalır, median onların arasında dayanır.

3 · Hesabla

Ölçüləri tap, formanı de

Formanı iki yolla müəyyən etmək olar: histoqrama baxıb quyruğu tapmaqla və ya Mo, Me, x̄ hesablayıb onları müqayisə etməklə.

Nümunə 1Maaşlar

Həftəlik maaşlar: 120, 160, 90, 175, 110, 80, 220, 150, 300, 95. Moda, median və ədədi ortanı tapın, paylanmanın formasını müəyyən edin.

  1. Sıralayırıq: 80, 90, 95, 110, 120, 150, 160, 175, 220, 300. Bütün qiymətlər fərqlidir, təkrarlanan yoxdur — moda yoxdur.
  2. 10 qiymət var, ortada 5-ci və 6-cı dayanır: Me = (120 + 150) : 2 = 135.
  3. Cəm 1500-dür: x̄ = 1500 : 10 = 150.
  4. x̄ > Me: tək böyük qiymət (300) ortanı sağa çəkib, quyruq sağdadır.

    Me = 135 < x̄ = 150 — sağa əyilmə

Nümunə 2Ailədə neçə uşaq var?

50 ailədə uşaqların sayı belə paylanıb (10-cu sinif dərsliyindən). Mo, Me, x̄ tapın və formanı deyin.

Uşaqların sayı (x) və ailələrin sayı (f)
x012345
f121711442
  1. Ən böyük tezlik 17-dir, o, x = 1-ə aiddir: Mo = 1 (17 yox — moda qiymətdir).
  2. n = 50, median 25-ci və 26-cı qiymətlərin ortasıdır. Yığılmış tezlik: 0 → 12, 1 → 12 + 17 = 29. 25-ci və 26-cı qiymətlər 1-dir: Me = 1.
  3. Hər qiyməti öz tezliyinə vurub toplayırıq:

    x̄ = (0·12 + 1·17 + 2·11    + 3·4 + 4·4 + 5·2) : 50  = 77 : 50 = 1,54

  4. Zirvə x = 1-də, sütunlar sağa doğru alçalır, ədədi orta ən böyükdür.

    Mo = Me = 1 < x̄ = 1,54 — sağa əyilmə

Qiymətlər az və tam ədəd olanda moda ilə median üst-üstə düşə bilər. Ədədi orta yenə quyruq tərəfdədir.

Nümunə 3Tərsinə: formadan modaya

Test ballarının ədədi ortası 68, medianı 74-dür. Paylanma hansı formadadır? Moda haralarda gözlənilir?

  1. x̄ = 68 < Me = 74: ortanı aşağı çəkən bir neçə kiçik bal var, quyruq soldadır.
  2. Sola əyilmədə sıra x̄ < Me < Mo-dur, deməli zirvə medianın sağında olmalıdır.

    Sola əyilmə, Mo > 74

4 · Diqqət

Ad zirvədən yox, quyruqdan gəlir

Səhv düşüncə

Sağa əyilmə — zirvə sağdadır

Zirvənin yeri adı vermir.

Düzgün

Sağa əyilmə — quyruq sağdadır

Zirvə soldadır, ədədi ortanı isə sağdakı quyruq çəkir.

Səhv düşüncə

Mo = 10

«Sağa əyilmə» panelində 10 ən hündür sütunun tezliyidir (f).

Düzgün

Mo = 2

Moda həmin sütunun altındakı qiymətdir (x): 2 qiyməti 10 dəfə təkrarlanır.

5 · Həyatda

Boy, təzyiq və iki zər

Dərslik normal paylanmaya bu nümunələri göstərir: yeni doğulan körpələrin boyu və ya kütləsi, insanın boyu, qan təzyiqinin ölçüsü, böyük şirkətlərdə maaşlar. «Normal paylanmada tezlik poliqonu ədədi ortanın qiymətinə görə simmetrik olur.»

Simmetrik histoqramı özün də ala bilərsən. İki zər atanda xalların cəmi 2-dən 12-yə qədərdir. 36 bərabər mümkün nəticədən cəmi 7 olan 6 nəticə var, 2 və 12 isə hərəsi yalnız bir yolla alınır. Ehtimallar 7-yə nəzərən simmetrik düzülür.

İki zərin xallarının cəmi və ehtimalı
Cəm23456789101112
P1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/36

Zirvə 7-dədir və iki tərəf eynidir, ona görə Mo = Me = x̄ = 7.

İki zərin xallarının cəminin ehtimal histoqramı On bir sütun, cəm 2-dən 12-yə qədər. Sütunların hündürlüyü 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1 otuz altıda birdir. Ən hündür sütun 7-dədir, histoqram 7-yə nəzərən simmetrikdir. Kəsik xətt 7-də: moda, median və ədədi orta 7-dir. Mo = Me = x̄ = 7
Ən hündür sütun 1/6, ən alçaqlar 1/36. Dərslik: «Histoqram ehtimalın paylanmasının normal paylanma olduğunu göstərir.»

Kiçik qrupda isə bir-iki uzaq qiymət formanı dəyişə bilər: maaş nümunəsində tək bir 300 paylanmanı sağa əydi və ortanı mediandan 15 vahid yuxarı çəkdi. Ona görə «tipik» qiyməti deyəndə əvvəlcə histoqramın formasına baxmaq faydalıdır.

6 · Özünü yoxla

Formanı tanı

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Histoqramın zirvəsi soldadır, uzun quyruğu sağa uzanır. Bu hansı formadır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Adı quyruq verir.

    Yox. Adı zirvənin yeri yox, quyruğun istiqaməti verir.

    Həllə bax

    Quyruq sağa uzanır, deməli sağa əyilmədir (sağa sürüşmüş forma).

  2. Asan

    Simmetrik paylanmada ədədi orta 50-dir. Median neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Simmetrikdə Me = x̄.

    Yox. Simmetrik paylanmada üç ölçü bir xətt üzərindədir: Mo = Me = x̄.

    Həllə bax

    Simmetrik paylanmada Mo = Me = x̄, deməli median 50-dir.

  3. Orta

    Sağa əyilmiş paylanmada üç ölçünün düzgün sırası hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Orta sağdakı quyruğa çəkilir.

    Yox. Moda zirvədə (solda), ədədi orta quyruqda (sağda), median onların arasındadır.

    Həllə bax

    Sağa əyilmədə zirvə soldadır, quyruq sağdadır: soldan sağa Mo, Me, x̄. «x̄ < Me < Mo» sola əyilmənin sırasıdır.

  4. Orta

    Sola əyilmiş paylanmada Mo = 80, Me = 76. Ədədi orta hansı ola bilər?

    Cavab variantları

    Bəli: 71 < 76 < 80.

    Sola əyilmədə ədədi orta ən soldadır: x̄ < Me < Mo, yəni x̄ 76-dan kiçikdir.

    Həllə bax

    Sola əyilmədə x̄ < Me < Mo. Me = 76 olduğundan x̄ < 76. Variantlardan yalnız 71 uyğundur; 78 median ilə moda arasındadır, 83 isə sağa əyilmənin sırasıdır.

  5. Çətin

    2, 3, 3, 3, 4, 5, 12 verilənlərinin paylanması hansı formadadır?

    Cavab variantları

    Düzdür! 12 ortanı sağa çəkir.

    Üç ölçünü hesabla: Mo = Me = 3, amma x̄ = 32 : 7 ≈ 4,57 — ədədi orta ən böyükdür.

    Həllə bax

    Mo = 3 (üç dəfə), Me = 3 (7 qiymətin 4-cüsü), x̄ = (2 + 3 + 3 + 3 + 4 + 5 + 12) : 7 = 32 : 7 ≈ 4,57. Ədədi orta sağdadır, quyruq (12) sağa uzanır: sağa əyilmə.

  6. Çətin

    Tezlik cədvəli: x = 1, 2, 3, 4, 5; f = 2, 5, 9, 5, 2. Ədədi orta neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Simmetrik cədvəldə x̄ ortadakı qiymətdir.

    Yox. Tezlikləri yox, qiymətləri ortala: hər x-i öz tezliyinə vur və cəmi 23-ə böl.

    Həllə bax

    (1·2 + 2·5 + 3·9 + 4·5 + 5·2) : 23 = 69 : 23 = 3. Tezliklər 3-ə nəzərən simmetrikdir, ona görə Mo = Me = x̄ = 3. 9 ən böyük tezlikdir, 4,6 isə tezliklərin ortasıdır (23 : 5) — ikisi də qiymət deyil.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Ad quyruqdan gəlirSağa əyilmədə quyruq sağa, sola əyilmədə sola uzanır; simmetrikdə iki tərəf eynidir.
  • Quyruq ortanı çəkirSağa əyilmədə Mo < Me < x̄, sola əyilmədə x̄ < Me < Mo: moda zirvədə, median ortada, ədədi orta quyruq tərəfdə.
  • Mo = Me = x̄Simmetrik, o cümlədən normal paylanmada üç ölçü bir xətt üzərindədir.

Növbəti mövzu: 6.62 Normal paylanma — simmetrik əyri və 68–95–99,7 qaydası