• 6.62
  • 11-ci sinif
  • Statistika

Normal paylanma

Körpələrin boyu, quş yumurtalarının kütləsi, imtahan balları: qiymətlərin çoxu ortaya yaxındır, kənarda isə azdır. Ortadan bir standart meyil sağa və sola — məlumatın 68%-i, iki — 95%-i, üç — 99,7%-i.

Bu dərsdə

  • normal paylanma əyrisinin xassələrini izah edəcəksən: simmetriya, orta = median = moda;
  • 68–95–99,7 qaydası ilə intervala düşən faizi, sayı və ehtimalı tapacaqsan;
  • ədədi orta və standart meyil dəyişəndə əyrinin necə dəyişdiyini görəcəksən.
Normal paylanma əyrisi və 68–95–99,7 qaydası Zəng formalı simmetrik əyri, zirvəsi ədədi orta x̄ üzərində. Əyrinin altında iç-içə üç sahə rənglənib: x̄ − σ ilə x̄ + σ arası (68%), x̄ − 2σ ilə x̄ + 2σ arası (95%), x̄ − 3σ ilə x̄ + 3σ arası (99,7%). x̄-dan x̄ + σ-ya qədər məsafə göy oxla σ kimi göstərilib. −3σ−2σ−σ x̄ +σ+2σ+3σ σ kənarda — az ortada — çox 68% 95% 99,7%
  1. Kəşf et
  2. Qayda
  3. 68–95–99,7
  4. Hesabla
  5. Əyrinin forması
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Sütunlardan əyriyə

Tutaq ki, doğum evində 1000 körpənin boyu ölçülüb. Boyların ədədi ortası x̄ = 50 sm, standart meyli σ = 2 sm-dir. Hər 1 sm-lik aralığa neçə körpə düşdüyünü sayıb histoqram quraq.

Xatırla: standart meyil σ qiymətlərin ortadan nə qədər səpələndiyini ölçür. Qiymətlər bir-birindən uzaq olduqca σ böyük, ortanın ətrafında sıxlaşdıqca kiçik olur (σ = √σ², σ² = Σ(x − x̄)²/n).

Hansı aralığa baxaq?
1000 körpənin boyunun histoqramı və normal paylanma əyrisi On iki sütun 44 sm-dən 56 sm-ə qədər, hər biri 1 sm. Saylar: 5, 17, 44, 92, 150, 191, 191, 150, 92, 44, 17, 5. Sütunlar 50 sm ətrafında simmetrikdir. Sütunların üstündən hamar zəng formalı əyri keçir. Seçilmiş aralığın sütunları rənglənir. 0100200 44464850525456 Tezlik x̄ = 50 Boy, sm

48–52 sm (x̄ − σ … x̄ + σ): 150 + 191 + 191 + 150 = 682 körpə, yəni təxminən 68%.

46–54 sm (x̄ − 2σ … x̄ + 2σ): 682 + 92 + 44 + 92 + 44 = 954 körpə, təxminən 95%.

44–56 sm (x̄ − 3σ … x̄ + 3σ): 954 + 17 + 5 + 17 + 5 = 998 körpə, təxminən 99,7%.

Hər sütun 1 sm-lik aralıqdakı körpələrin sayıdır. Saylar normal paylanma modelindən hesablanıb və yuvarlaqlaşdırılıb.

Üç şey diqqəti çəkir: sütunlar 50 sm-də ən hündürdür, sağ və sol tərəf eynidir, ortadan uzaqlaşdıqca sütunlar sürətlə alçalır. Sütunların üstündən keçən hamar zəng formalı xətt normal paylanma əyrisidir. Ölçmələr çox olanda histoqram bu əyriyə getdikcə daha çox oxşayır.

2 · Qayda

Normal paylanmanın xassələri

Yadda saxla

Tezlik qrafiki ədədi ortaya nəzərən simmetrik zəng formasında olan paylanmaya normal paylanma deyilir.

  • Əyri ədədi ortaya nəzərən simmetrikdir: məlumatın yarısı x̄-dan solda, yarısı sağdadır.
  • Ədədi orta = median = moda; ədədi orta əyrinin maksimumuna uyğundur.
  • Əyri iki ədədlə qurulur: ədədi orta x̄ (yeri) və standart meyil σ (eni).
  • Məlumatın demək olar hamısı x̄-dan üç standart meyil məsafədədir.
Normal paylanma əyrisinin hissələri Zəng formalı əyri. Zirvəsindən simmetriya xətti keçir və x̄ nöqtəsinə enir; zirvədə yazılıb: orta = median = moda. Xəttin solunda və sağında sahənin 50%-i. x̄-dan x̄ + σ-ya göy ox σ məsafəsini göstərir. Şaquli ox — tezlik, üfüqi ox — qiymət. orta = median = moda 50% 50% σ x̄ − σx̄x̄ + σ Tezlik Qiymət
Simmetriya xətti zirvədən keçir: orta, median və moda eyni nöqtədir.

Niyə üçü bərabərdir? Moda ən çox təkrarlanan qiymətdir — əyrinin ən hündür nöqtəsi. Median məlumatı iki bərabər yarıya bölür — simmetrik əyridə bu, simmetriya xəttidir. Ədədi orta da simmetriya mərkəzindədir. Əyilmiş paylanmada bu üç ədəd ayrılır; bunu əvvəlki mövzuda gördün.

3 · 68–95–99,7

Hər zolağın payı

68–95–99,7 qaydası

Normal paylanmada məlumatın

  • 68%-i ədədi ortadan bir standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − σ … x̄ + σ;
  • 95%-i iki standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − 2σ … x̄ + 2σ;
  • 99,7%-i üç standart meyil qədər uzaqlıqdadır: x̄ − 3σ … x̄ + 3σ.

Əyri simmetrik olduğu üçün hər interval yarı-yarıya bölünür. Beləcə əyrinin altı səkkiz zolağa ayrılır:

Normal paylanma əyrisinin səkkiz zolağı Soldan sağa zolaqlar: x̄ − 3σ-dan kiçik 0,15%, x̄ − 3σ ilə x̄ − 2σ arası 2,35%, x̄ − 2σ ilə x̄ − σ arası 13,5%, x̄ − σ ilə x̄ arası 34%, x̄ ilə x̄ + σ arası 34%, x̄ + σ ilə x̄ + 2σ arası 13,5%, x̄ + 2σ ilə x̄ + 3σ arası 2,35%, x̄ + 3σ-dan böyük 0,15%. 34%34% 13,5%13,5% 2,35%2,35% 0,15%0,15% −3σ−2σ−σx̄+σ+2σ+3σ
«+2σ» yazısı x̄ + 2σ nöqtəsini bildirir. Bütün zolaqların cəmi 100%-dir.

Zolaqları əzbərləmək lazım deyil — onları qaydadan çıxarmaq olur:

Zolaqlar qaydadan
ZolaqHesab
34%68% : 2
13,5%(95% − 68%) : 2
2,35%(99,7% − 95%) : 2
0,15%(100% − 99,7%) : 2

Dərslikdəki bəzi şəkillərdə kənar zolaqlar yuvarlaqlaşdırılaraq 2% və 0,5% yazılıb. Biz 2,35% və 0,15% götürürük: onda cəmlər 95%, 99,7% və 100% ilə dəqiq uyğun gəlir.

Hər tərəfdə yarı

x̄-dan kiçik: 50%

0,15 + 2,35 + 13,5 + 34 = 50. Sağ tərəf də 50%-dir.

Bir σ-dan kənar

x̄ + σ-dan böyük: 16%

50% − 34% = 16%. Deməli, x̄ + σ-dan kiçik 84%-dir.

İki σ-dan kənar

x̄ + 2σ-dan böyük: 2,5%

2,35% + 0,15% = 2,5%; iki tərəfdə birlikdə 5%.

4 · Hesabla

Faizi necə tapırıq?

Üsul həmişə eynidir: intervalın sərhədlərini x̄ və σ ilə ifadə et, sonra həmin sərhədlər arasındakı zolaqları topla.

Nümunə 1İnterval faizi

Çörəkxanada bişən çörəklərin kütləsi normal paylanıb: x̄ = 500 q, σ = 10 q. Çörəklərin neçə faizi: a) 510 q-dan yüngüldür; b) 480 q ilə 510 q arasındadır?

  1. Sərhədləri σ ilə yazırıq: 510 = 500 + 10 = x̄ + σ, 480 = 500 − 2 · 10 = x̄ − 2σ.
  2. a) x̄ + σ-dan solda qalan bütün zolaqlar: 0,15 + 2,35 + 13,5 + 34 + 34 = 84. Qısa yol: 50% + 34%.

    a) 84%

  3. b) x̄ − 2σ ilə x̄ + σ arası üç zolaqdır: 13,5 + 34 + 34 = 81,5.

    b) 81,5%

480 q ilə 510 q arasındakı sahə Ortası 500 q, standart meyli 10 q olan normal paylanma əyrisi, ox 470-dən 530-a qədər. 480 ilə 490 arası göy (13,5%), 490 ilə 500 və 500 ilə 510 arası lime (hər biri 34%) rənglənib. Cəmi 81,5%. 34%34% 13,5% 470480490500510520530 480–510 q: 81,5% kütlə, q
Rənglənmiş sahə b) bəndinin cavabıdır: 13,5% + 34% + 34% = 81,5%.
Nümunə 2Say və ehtimal

Həmin gün 2000 çörək bişib. a) Təxminən neçə çörək 520 q-dan ağırdır? b) Təsadüfi götürülən çörəyin 490 q-dan yüngül olma ehtimalı nə qədərdir?

  1. a) 520 = x̄ + 2σ; ondan sağda iki zolaq: 2,35% + 0,15% = 2,5%.
  2. Say = faiz × ümumi say: 0,025 · 2000 = 50.

    a) təxminən 50 çörək

  3. b) 490 = x̄ − σ; ondan solda: 0,15 + 2,35 + 13,5 = 16%. Təsadüfi seçilən çörəyin bu hissəyə düşmə ehtimalı həmin paydır.

    b) 0,16

5 · Əyrinin forması

x̄ yeri, σ eni dəyişir

Ədədi orta dəyişəndə əyri formasını saxlayıb sola və ya sağa sürüşür. Ədədi orta eyni qalıb standart meyil dəyişəndə əyri dartılır və ya sıxılır.

Niyə σ böyüyəndə əyri həm də alçalır? Əyri altındakı bütün sahə həmişə 100%-dir. Qiymətlər daha geniş yayılanda eyni 100% daha geniş əraziyə paylanır — ona görə zirvə enir.

Üç normal paylanma əyrisi A əyrisi: ədədi orta 20, standart meyil 5. B əyrisi: ədədi orta 50, standart meyil 5 — A ilə eyni forma, sağa sürüşüb. C əyrisi: ədədi orta 50, standart meyil 10 — B ilə eyni mərkəz, iki dəfə enli və iki dəfə alçaq. A B C 02040506080
A: x̄ = 20, σ = 5; B: x̄ = 50, σ = 5; C: x̄ = 50, σ = 10.

A → B: x̄ böyüdü

sağa sürüşmə

σ eyni olduğu üçün forma, hündürlük və en dəyişmir.

B → C: σ böyüdü

alçaq və enli

Mərkəz yerində qalır. σ kiçik olsaydı, əyri hündür və dar olardı.

6 · Diqqət

95% iki tərəfə aiddir

Sual: x̄ = 500 q, σ = 10 q olduqda çörəklərin neçə faizi 500 q ilə 520 q arasındadır?

Səhv düşüncə

520 = x̄ + 2σ, deməli 95%

95% x̄ − 2σ ilə x̄ + 2σ arasındadır — yəni ortanın hər iki tərəfində.

Düzgün

34% + 13,5% = 47,5%

x̄-dan x̄ + 2σ-ya qədər yalnız sağ yarıdır: 95% : 2 = 47,5%.

Yoxlama vərdişi: cavabı vermədən əvvəl intervalı əyrinin üzərində təsəvvür et. İnterval x̄-dan başlayırsa, cavab 50%-dən böyük ola bilməz.

7 · Həyatda

Hansı maşın daha dəqiq qablaşdırır?

Fabrikdə çayı iki maşın qablaşdırır, qutuların üstündə «100 q» yazılıb. Hər iki maşında qutunun orta kütləsi 102 q-dır, amma A maşınında σ = 1 q, B maşınında σ = 2 q. Fərz edək ki, kütlə normal paylanır. Qutuların neçə faizi 100 q və ondan yüngüldür?

İki maşında qutu kütləsinin paylanması Eyni ox üzərində, 96 q-dan 108 q-a qədər. Yuxarıda A maşını: ortası 102, σ = 1, hündür və dar əyri; 100 q-dan sol hissə (2,5%) qırmızı. Aşağıda B maşını: ortası 102, σ = 2, alçaq və enli əyri; 100 q-dan sol hissə (16%) qırmızı. 100 q-da qırmızı qırıq xətt — etiketdəki kütlə. A · σ = 1 q B · σ = 2 q etiket: 100 q 2,5% 16% 9698100102104106108
Hər iki əyri eyni miqyasdadır; qırmızı sahə — 100 q və daha yüngül qutular.
100 q və daha yüngül qutular
Maşın100 qPay10 000 qutuda
A (σ = 1)x̄ − 2σ2,5%250
B (σ = 2)x̄ − σ16%1600

A maşınında 100 = 102 − 2 · 1, yəni x̄ − 2σ; ondan solda 2,35% + 0,15% = 2,5%. B maşınında 100 = 102 − 2, yəni x̄ − σ; ondan solda 50% − 34% = 16%.

Orta kütlə eynidir, amma kiçik σ çəkisi əskik qutuların sayını altı dəfədən çox azaldır. Ona görə istehsalçı üçün yalnız orta deyil, standart meyil də vacibdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    Normal paylanmada ədədi orta 60-dır. Median neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Normal paylanmada orta = median = moda.

    Yox. Simmetrik əyridə median da simmetriya xəttindədir — σ lazım deyil.

    Həllə bax

    Normal paylanma əyrisi ədədi ortaya nəzərən simmetrikdir, ona görə median = moda = ədədi orta = 60.

  2. Asan

    x̄ = 50, σ = 4. Məlumatın 95%-i hansı intervaldadır?

    Cavab variantları

    Əla! 50 ± 2 · 4.

    Yox. 46–54 bir σ (68%), 38–62 üç σ (99,7%) intervalıdır; 95% üçün iki σ götür.

    Həllə bax

    95% — x̄ − 2σ ilə x̄ + 2σ arası: 50 − 8 = 42, 50 + 8 = 58.

  3. Orta

    x̄ = 50, σ = 4. Qiymətlərin neçə faizi 50 ilə 54 arasındadır?

    Cavab variantları

    Düzdür: x̄-dan x̄ + σ-ya bir zolaq.

    Yox. 68% hər iki tərəfdir, 50% isə x̄-dan sağdakı bütün hissədir; burada yalnız bir zolaq var.

    Həllə bax

    54 = 50 + 4 = x̄ + σ. x̄ ilə x̄ + σ arası 68% : 2 = 34%-dir.

  4. Orta

    x̄ = 50, σ = 4. Qiymətlərin neçə faizi 58-dən böyükdür?

    Cavab variantları

    Əla! 2,35% + 0,15% = 2,5%.

    Yox. 5% iki quyruğun cəmidir, 47,5% isə x̄ ilə 58 arasıdır. Yalnız sağ quyruğu götür.

    Həllə bax

    58 = 50 + 8 = x̄ + 2σ. Ondan sağda iki zolaq: 2,35% + 0,15% = 2,5% (yəni (100% − 95%) : 2).

  5. Çətin

    Sınaq imtahanında 400 şagird iştirak edib; ballar normal paylanıb, x̄ = 70, σ = 5. Təxminən neçə şagird 65 ilə 80 arasında bal toplayıb?

    Cavab variantları

    Düzdür! 81,5% · 400 = 326.

    Yox. 272 — 68%, 380 — 95% götürəndə alınır. 65 = x̄ − σ, 80 = x̄ + 2σ: interval simmetrik deyil, zolaqları say.

    Həllə bax

    65 = x̄ − σ, 80 = x̄ + 2σ. Zolaqlar: 34% + 34% + 13,5% = 81,5%. Say: 0,815 · 400 = 326 şagird.

  6. Çətin

    İki normal paylanmanın ədədi ortası eynidir. P əyrisi hündür və dar, Q əyrisi alçaq və enlidir. Hansında standart meyil böyükdür?

    Cavab variantları

    Düzdür! Enli əyri — böyük σ.

    Yox. Hündürlük σ-nın böyüklüyü demək deyil; orta yeri, σ isə eni müəyyən edir.

    Həllə bax

    Qiymətlər ortadan nə qədər çox səpələnirsə, əyri o qədər enli və alçaq olur. Q enlidir, deməli onun σ-sı böyükdür.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Simmetrik zəngNormal paylanmada orta = median = moda; hər tərəfdə məlumatın 50%-i.
  • 68 – 95 – 99,7Zolaqlar: 34%, 13,5%, 2,35%, 0,15%. Sərhədi x̄ və σ ilə yaz, zolaqları topla.
  • x̄ — yer, σ — enx̄ əyrini sürüşdürür; σ böyüdükcə əyri alçalır və genişlənir.

Növbəti mövzu: 6.63 Qutu-qulp diaqramı