• 6.13
  • 11-ci sinif
  • Fəzada koordinatlar

Müstəvinin tənliyi

Fəzada müstəvini tutmaq üçün bir nöqtə və ona perpendikulyar bir vektor kifayətdir. P₀(1; 2; 2) nöqtəsindən keçən və n(2; 1; 2) vektoruna perpendikulyar müstəvinin hər nöqtəsi bir tənliyi ödəyir: 2x + y + 2z − 8 = 0.

Bu dərsdə

  • müstəvinin tənliyini onun bir nöqtəsinə və normal vektoruna görə iki üsulla yazacaqsan;
  • tənlikdən normalı oxuyacaq, nöqtənin müstəvi üzərində olub-olmadığını yoxlayacaq, müstəvinin oxları kəsdiyi nöqtələri tapacaqsan;
  • x = 3, z = 2, x + 2y − 8 = 0 kimi tənliklərin fəzada hansı müstəviləri verdiyini izah edəcəksən.
  • müstəvi, P₀
  • normal n
  • müstəvi üzərində
Müstəvi 2x + y + 2z − 8 = 0, onun P₀ nöqtəsi, normalı n və müstəvi üzərindəki P₀P vektoruOblik koordinat sistemində kölgəli paraleloqram kimi müstəvi x oxunu 4-də, y oxunu 8-də, z oxunu 4-də kəsir. Müstəvi üzərindəki P₀(1; 2; 2) nöqtəsindən narıncı normal vektor n(2; 1; 2) çıxır. Müstəvi üzərindəki P(1; 4; 1) nöqtəsinə lime rəngli P₀P(0; 2; −1) vektoru gedir; P₀-da n ilə P₀P arasında düz bucaq işarəsi var. Aşağıda tənlik: 2x + y + 2z − 8 = 0.xyz484OP₀Pn2x + y + 2z − 8 = 0
  1. Bir tənlik, üç ölçü
  2. Normal və tənlik
  3. Tənliyi yaz, yoxla
  4. Xüsusi vəziyyətlər
  5. Üç nöqtə, məsafə
  6. Diqqət
  7. Özünü yoxla
  8. Yekun

1 · Kəşf et

Bir tənlik — üç ölçü

Eyni x = 3 tənliyi ədəd oxunda, Oxy müstəvisində və fəzada hansı nöqtələr çoxluğunu verir? Ölçünü seç və fiqura bax.

Neçə ölçü?
Ədəd oxunda x = 3: bir nöqtəƏdəd oxu −1-dən 5-ə qədər; yalnız 3 nöqtəsi qeyd olunub.−1012345xx = 3
Oxy müstəvisində x = 3: y oxuna paralel düz xəttKoordinat torunda x = 3 düz xətti şaquli çəkilib; (3; 3), (3; 1), (3; −1) nöqtələri onun üzərindədir.xyO3(3; 3)(3; 1)(3; −1)x = 3
Fəzada x = 3: Oyz müstəvisinə paralel müstəviOblik koordinat sistemində x = 3 müstəvisi kölgəli dördbucaqlıdır; x oxunu (3; 0; 0)-da kəsir, (3; 3; 2) və (3; −1; 2) nöqtələri də onun üzərindədir.xyzO(3; 0; 0)(3; 3; 2)(3; −1; 2)x = 3

Bir nöqtə. Ədəd oxunda x = 3 tənliyinə yalnız bir nöqtə uyğundur.

Düz xətt. Müstəvidə x = 3, yəni x + 0 · y = 3 tənliyini (3; y) şəklində bütün nöqtələr ödəyir: y istənilən ədəddir. Bu nöqtələr y oxuna paralel düz xətt əmələ gətirir.

Müstəvi. Fəzada x = 3, yəni x + 0 · y + 0 · z = 3 tənliyini (3; y; z) şəklində bütün nöqtələr ödəyir: indi həm y, həm z sərbəstdir. Bu nöqtələr Oyz müstəvisinə paralel müstəvi əmələ gətirir.

Dəyişənlərin sayı artdıqca tənliyin «buraxdığı» sərbəst koordinatlar da artır. Eyni qayda ilə fəzada y = 3 Oxz müstəvisinə, z = 3 isə Oxy müstəvisinə paralel müstəvidir.

Düz xətdən müstəviyə

Oxy müstəvisində x + 2y − 8 = 0 tənliyi düz xətt verir: A(0; 4), B(2; 3), C(4; 2), D(6; 1), E(8; 0) nöqtələri onun üzərindədir.

Bu tənliyi fəzada x + 2y + 0 · z − 8 = 0 kimi oxuyaq. z-in əmsalı sıfır olduğu üçün z istənilən ədəd ola bilər: A(0; 4; z), B(2; 3; z), … nöqtələrinin hamısı tənliyi ödəyir. Bu nöqtələr birlikdə z oxuna paralel müstəvi əmələ gətirir.

Ümumiyyətlə, üçölçülü koordinat sistemində ax + by + cz + d = 0 tənliyi müstəvi müəyyən edir. Bəs a, b, c, d ədədləri müstəvi haqqında nə deyir? Növbəti mərhələdə görəcəyik.

Fəzada x + 2y − 8 = 0: z oxuna paralel müstəviOxy müstəvisində x + 2y − 8 = 0 düz xətti A(0; 4; 0), B(2; 3; 0), C(4; 2; 0), D(6; 1; 0), E(8; 0; 0) nöqtələrindən keçir. Bu düz xəttdən yuxarı qalxan şaquli müstəvi z oxuna paraleldir; C nöqtəsinin üstündəki (4; 2; 3) nöqtəsi də tənliyi ödəyir.xyzOABCDE(4; 2; 3)
Narıncı müstəvi x + 2y − 8 = 0 Oxy-dəki düz xəttdən yuxarı qalxır. C(4; 2; 0)-ın üstündəki (4; 2; 3) nöqtəsi də tənliyi ödəyir: 4 + 2 · 2 − 8 = 0.

2 · Qayda

Normal və müstəvinin tənliyi

Müstəvi müxtəlif yollarla müəyyən oluna bilər:

  1. kollinear olmayan üç nöqtə ilə;
  2. düz xətt və ona aid olmayan nöqtə ilə;
  3. iki kəsişən düz xətlə;
  4. iki paralel düz xətlə;
  5. bir nöqtə və bu nöqtədə verilən istiqamətdə çəkilmiş perpendikulyarla.

Tənliyi sonuncu yoldan çıxaraq. Əvvəlcə bir ad lazımdır.

Tərif

Müstəviyə perpendikulyar vektora onun normalı deyilir.

Tutaq ki, α müstəvisi P₀(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən keçir və n(a; b; c) onun normalıdır. Müstəvi üzərində istənilən P(x; y; z) nöqtəsi götürək. Müstəviyə perpendikulyar düz xətt müstəvi üzərindəki hər düz xəttə perpendikulyardır, deməli n ⊥ P₀P, yəni onların skalyar hasili sıfırdır:

n · P₀P = 0,  P₀P(x − x₀; y − y₀; z − z₀) a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 ax + by + cz + d = 0,  burada d = −(ax₀ + by₀ + cz₀)

Tərsinə də doğrudur: koordinatları bu tənliyi ödəyən hər P nöqtəsi üçün n · P₀P = 0, yəni P müstəvi üzərindədir. Ona görə tənlik müstəvini tam «tutur».

Normal müstəviyə perpendikulyardır: n ⊥ P₀PÜfüqi α müstəvisi üzərində P₀(x₀; y₀; z₀) və P(x; y; z) nöqtələri, onları birləşdirən lime P₀P vektoru və P₀-dan yuxarı çıxan narıncı normal n(a; b; c); P₀-da düz bucaq işarəsi.P₀(x₀; y₀; z₀)P(x; y; z)n(a; b; c)P₀Pα
Normal n müstəvi üzərindəki istənilən vektora, o cümlədən P₀P-yə perpendikulyardır.

Diqqət edin!

Müstəvinin tənliyində x, y, z-in əmsalları normalın koordinatlarıdır: ax + by + cz + d = 0 üçün n(a; b; c). Həm də a² + b² + c² > 0: üç əmsal birdən sıfır ola bilməz.

Yazılış razılaşması

Bu dərsdə tənliyi həmişə ax + by + cz + d = 0 şəklində yazırıq: sabit d sol tərəfdədir. Sabiti sağda olan tənlikdə (məsələn, 4x + 3y − 5z = 10) əvvəlcə hamısını sola keçir: 4x + 3y − 5z − 10 = 0, d = −10.

Normal tək deyil

Tənliyi sıfırdan fərqli ədədə vursaq, müstəvi dəyişmir. Ona görə (2; 1; 2), (4; 2; 4), (−2; −1; −2) vektorlarının hər biri dərsin əvvəlindəki müstəvinin normalıdır.

3 · Hesabla

Tənliyi yaz və yoxla

Nümunə 1Nöqtə və normal: iki üsul

Normal vektoru n(−1; 3; 4) olan müstəvi A(1; 2; 3) nöqtəsindən keçir. Bu müstəvinin tənliyini yazın.

  1. 1-ci üsul. Müstəvi üzərində istənilən P(x; y; z) nöqtəsi götürək: AP(x − 1; y − 2; z − 3).
  2. n · AP = 0: −1(x − 1) + 3(y − 2) + 4(z − 3) = 0, yəni −x + 1 + 3y − 6 + 4z − 12 = 0.
  3. Sadələşdirək: −x + 3y + 4z − 17 = 0. Hər iki tərəfi (−1)-ə vursaq, x − 3y − 4z + 17 = 0.
  4. 2-ci üsul. Əmsallar normalın koordinatlarıdır: a = −1, b = 3, c = 4, deməli tənlik −x + 3y + 4z + d = 0 şəklindədir.
  5. A(1; 2; 3) müstəvi üzərindədir, onun koordinatlarını yerinə yazaq: −1 + 3 · 2 + 4 · 3 + d = 0, d = −17.

    x − 3y − 4z + 17 = 0

Nümunə 2Tənlikdən nöqtələrə

Müstəvi x + 2y − z − 8 = 0 tənliyi ilə verilib. a) A(2; 3; 0), B(0; 5; 2), C(3; 1; 1) nöqtələri bu müstəvi üzərindədirmi? b) Müstəvinin x, y, z oxlarını kəsdiyi nöqtələri tapın. c) Müstəvi üzərində başqa bir nöqtə yazın.

  1. a) Koordinatları tənliyin sol tərəfinə yazırıq. A: 2 + 2 · 3 − 0 − 8 = 0 — üzərindədir. B: 0 + 2 · 5 − 2 − 8 = 0 — üzərindədir. C: 3 + 2 · 1 − 1 − 8 = −4 ≠ 0 — üzərində deyil.
  2. b) x oxu üzərində y = 0, z = 0: x − 8 = 0, nöqtə (8; 0; 0). y oxu üzərində x = 0, z = 0: 2y − 8 = 0, nöqtə (0; 4; 0). z oxu üzərində x = 0, y = 0: −z − 8 = 0, nöqtə (0; 0; −8).
  3. c) İki dəyişənə istədiyimiz qiyməti verib üçüncünü tapırıq. x = 2, y = 1: 2 + 2 − z − 8 = 0, z = −4.

    a) A, B — bəli; C — xeyr. b) (8; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; −8). c) məsələn, (2; 1; −4)

x + 2y − z − 8 = 0 müstəvisinin oxlarla kəsişmə nöqtələriKölgəli müstəvi x oxunu (8; 0; 0), y oxunu (0; 4; 0), z oxunun mənfi hissəsini (0; 0; −8) nöqtəsində kəsir; üç kəsişmə nöqtəsi müstəvinin koordinat müstəviləri ilə kəsişmə xətləri ilə birləşdirilib.xyzO(8; 0; 0)(0; 4; 0)(0; 0; −8)
Üç kəsişmə nöqtəsi lime rəngdədir. z oxunu müstəvi mənfi hissədə, (0; 0; −8)-də kəsir.

4 · Qayda

Sıfır əmsallar nə deyir?

Normal müstəviyə perpendikulyardır. Əmsallardan biri sıfırdırsa, normal həmin oxa perpendikulyar olur, müstəvi isə o oxa paralel olur. Bunu skalyar hasillə yoxlamaq olar: məsələn, c = 0 olanda (a; b; 0) · (0; 0; 1) = 0.

ax + by + cz + d = 0 müstəvisinin vəziyyəti
ƏmsallarNümunəMüstəvi
d = 02x − y + 3z = 0koordinat başlanğıcından keçir: (0; 0; 0) tənliyi ödəyir
c = 0x + 2y − 8 = 0z oxuna paraleldir (1-ci mərhələdəki narıncı müstəvi)
a = b = 0z = 2Oxy müstəvisinə paraleldir; z = 0 Oxy-in özüdür
b = c = 0x = 3Oyz müstəvisinə paraleldir
c = 0, d = 0x − y = 0z oxundan keçir (z oxunun hər nöqtəsi tənliyi ödəyir)

z = 2

z = 2 müstəvisi Oxy müstəvisinə paraleldirÜfüqi kölgəli müstəvi z oxunu (0; 0; 2) nöqtəsində kəsir və Oxy müstəvisinə paraleldir.xyz(0; 0; 2)z = 2

Normal (0; 0; 1) z oxu boyuncadır, müstəvi «üfüqidir».

x − y = 0

x − y = 0 müstəvisi z oxundan keçirŞaquli kölgəli müstəvi z oxunu bütövlükdə saxlayır; (2; 2; 0) və (3; 3; 2) nöqtələri onun üzərindədir.xyz(2; 2; 0)(3; 3; 2)x − y = 0

z yoxdur və d = 0: (0; 0; z) nöqtələrinin hamısı tənliyi ödəyir.

5 · Hesabla

Üç nöqtə və məsafə

Nümunə 3Üç nöqtədən keçən müstəvi

A(1; 1; 1), B(2; 0; 3), C(0; 2; 2) nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini yazın.

  1. Müstəvi üzərində iki vektor: AB(1; −1; 2), AC(−1; 1; 1).
  2. Normal n(a; b; c) hər ikisinə perpendikulyardır: a − b + 2c = 0 və −a + b + c = 0.
  3. Bərabərlikləri toplayaq: 3c = 0, yəni c = 0 və a = b. Məsələn, n(1; 1; 0).
  4. A nöqtəsi ilə: 1(x − 1) + 1(y − 1) + 0 = 0, yəni x + y − 2 = 0. Yoxlama: B: 2 + 0 − 2 = 0, C: 0 + 2 − 2 = 0.

    x + y − 2 = 0

z yoxdur (c = 0): bu müstəvi z oxuna paraleldir — 4-cü mərhələdəki cədvələ bax.

Nümunə 4Nöqtədən müstəviyə məsafə

Q(6; 4; 5) nöqtəsindən 2x + y + 2z − 8 = 0 müstəvisinə qədər məsafəni tapın.

  1. Q-dan müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağı N(x; y; z) olsun. QN normal n(2; 1; 2) ilə kollineardır: QN = k · n.
  2. Komponentlər: x − 6 = 2k, y − 4 = k, z − 5 = 2k, yəni N(6 + 2k; 4 + k; 5 + 2k).
  3. N müstəvi üzərindədir: 2(6 + 2k) + (4 + k) + 2(5 + 2k) − 8 = 0, 18 + 9k = 0, k = −2. Onda N(2; 2; 1).
  4. |QN| = |k| · |n| = 2 · √(2² + 1² + 2²) = 2 · 3 = 6.

    Məsafə 6 vahiddir

Q(6; 4; 5) nöqtəsindən 2x + y + 2z − 8 = 0 müstəvisinə perpendikulyar QNDərsin əvvəlindəki 2x + y + 2z − 8 = 0 müstəvisi kölgəli paraleloqramdır. Müstəvidən kənarda Q(6; 4; 5) nöqtəsi; ondan müstəviyə narıncı perpendikulyar QN çəkilib, oturacağı N(2; 2; 1); N-də düz bucaq işarəsi. Uzunluq: QN = 6.xyz484Q(6; 4; 5)N(2; 2; 1)QN = 6
Dərsin əvvəlindəki müstəvi. Perpendikulyar QN normal istiqamətindədir və N(2; 2; 1)-də müstəviyə düz bucaq altında düşür.

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Sıfır əmsalı unutmaq

Səhv

2x − z + 3 = 0: n(2; −1; 3)

Burada −1 z-in əmsalıdır, 3 isə d-dir; d normala aid deyil.

Düz

n(2; 0; −1)

Tənlikdə y yoxdursa, onun əmsalı 0-dır: 2x + 0 · y − z + 3 = 0.

Fəzada x = 3-ü düz xətt sanmaq

Səhv

x = 3 — düz xətt

Bu, yalnız Oxy müstəvisində doğrudur.

Düz

fəzada x = 3 — müstəvi

(3; y; z) nöqtələrində iki sərbəst koordinat var: Oyz-ə paralel müstəvi.

d-nin işarəsi

A(1; −2; 3) nöqtəsindən keçən, normalı n(2; 1; −1) olan müstəvi: 2 · 1 + 1 · (−2) − 1 · 3 + d = 0, −3 + d = 0.

Səhv

2x + y − z − 3 = 0

Burada d = ax₀ + by₀ + cz₀ götürülüb — işarə əksinədir. A: 2 − 2 − 3 − 3 = −6 ≠ 0.

Düz

2x + y − z + 3 = 0

d = 3. Nöqtəni yerinə qoyub yoxla: 2 − 2 − 3 + 3 = 0.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    4x − y + 5 = 0 müstəvisinin normal vektoru hansıdır?

    Sual 1 variantları

    Düzdür! z yoxdur, onun əmsalı 0-dır.

    Normal x, y, z-in əmsallarından ibarətdir; 5 isə d-dir. z-in əmsalı nədir?

    Həllə bax

    4x − y + 0 · z + 5 = 0: a = 4, b = −1, c = 0. Normal (4; −1; 0).

  2. Asan

    Hansı nöqtə 3x + y − 2z − 4 = 0 müstəvisi üzərindədir?

    Sual 2 variantları

    Düzdür! 3 + 1 − 0 − 4 = 0.

    Koordinatları tənliyə yaz: sol tərəf 0 olmalıdır.

    Həllə bax

    (1; 1; 0): 3 + 1 − 0 − 4 = 0 ✓. (1; 0; 1): 3 + 0 − 2 − 4 = −3. (0; 4; 1): 0 + 4 − 2 − 4 = −2.

  3. Orta

    M(2; 0; −1) nöqtəsindən keçən və normalı n(1; 3; −2) olan müstəvinin tənliyi hansıdır?

    Sual 3 variantları

    Düzdür! d = −(2 + 0 + 2) = −4.

    Əmsallar normaldan gəlir, d-ni isə M-i yerinə yazıb tap. İşarəyə diqqət et.

    Həllə bax

    1(x − 2) + 3(y − 0) − 2(z + 1) = 0, yəni x + 3y − 2z − 4 = 0. Yoxlama M: 2 + 0 + 2 − 4 = 0. «+ 4» variantında d-nin işarəsi səhvdir, «2x − z − 4» variantında nöqtə ilə normalın yeri dəyişib.

  4. Orta

    3x − 2y + 6z − 12 = 0 müstəvisi z oxunu hansı nöqtədə kəsir?

    Sual 4 variantları

    Düzdür! x = y = 0: 6z = 12.

    z oxu üzərində x = 0 və y = 0 olur. Qalan tənliyi həll et.

    Həllə bax

    x = 0, y = 0: 6z − 12 = 0, z = 2. Kəsişmə nöqtəsi (0; 0; 2).

  5. Çətin

    Hansı müstəvi z oxuna paraleldir?

    Sual 5 variantları

    Düzdür! c = 0: normal z oxuna perpendikulyardır.

    z oxuna paralel müstəvinin tənliyində z olmur (c = 0).

    Həllə bax

    2x − 3y + 6 = 0 üçün n(2; −3; 0) · (0; 0; 1) = 0, müstəvi z oxuna paraleldir. 2x − 3z + 6 = 0-da y yoxdur — o, y oxuna paraleldir. z = 6 Oxy-ə paraleldir və z oxunu (0; 0; 6)-da kəsir.

  6. Çətin

    Q(4; 2; 3) nöqtəsindən x + 2y + 2z − 5 = 0 müstəvisinə qədər məsafəni tapın.

    Sual 6 variantları

    Düzdür! |k| · |n| = 1 · 3 = 3.

    Nümunə 4-dəki kimi: əvvəlcə k-nı tap, sonra |k|-nı normalın uzunluğuna vur.

    Həllə bax

    N(4 + k; 2 + 2k; 3 + 2k): (4 + k) + 2(2 + 2k) + 2(3 + 2k) − 5 = 0, 9 + 9k = 0, k = −1, N(3; 0; 1). |n| = √(1 + 4 + 4) = 3, məsafə |k| · |n| = 3. 9 — yalnız Q-nün tənlikdəki qiymətidir, 1 — yalnız |k|-dır.

8 · Yekun

Üç nəticə

  • Nöqtə + normal = müstəviP müstəvi üzərindədir ⇔ n · P₀P = 0, yəni a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.
  • Əmsallar normaldırax + by + cz + d = 0 üçün n(a; b; c); d-ni bir nöqtəni yerinə yazıb tapırıq.
  • Sıfır əmsallar vəziyyəti göstərirDəyişən yoxdursa, müstəvi o oxa paraleldir; d = 0 olanda O-dan keçir.

Növbəti mövzu: 6.14 Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti — iki müstəvinin normallarını müqayisə edəcəksən.