• 6.67
  • 11-ci sinif
  • Tənliklər və sistemlər

Loqarifmik tənliklər sistemi

x + y = 6 və log2x + log2y = 3 — loqarifmlər sistemi çətin göstərir. Amma bir xassə ikinci tənliyi xy = 8 edir və qarşımıza tanış sistem çıxır. Cavab: (2; 4) və (4; 2).

Bu dərsdə

  • sistemin təyin oblastını əvvəlcədən yazacaqsan;
  • loqarifmin xassələri ilə loqarifmik tənlikləri cəbri tənliyə çevirəcəksən;
  • sistemi əvəzetmə, cəbri toplama və ya yeni dəyişənlə həll edib hər cavabı yoxlayacaqsan.
Loqarifmik tənlik cəbri tənliyə çevrilir və sistemin iki həlli qrafikdə görünür Yuxarıda solda kart: log₂x + log₂y = 3. Ox «xassə» sözü ilə sağdakı karta aparır: xy = 8. Aşağıda koordinat müstəvisində birinci rüb rənglənib; x + y = 6 düz xətti və xy = 8 hiperbolası iki nöqtədə kəsişir: (2; 4) və (4; 2). log₂x + log₂y = 3 xy = 8 xassə (2; 4) (4; 2) x + y = 6 xy = 8
  1. Loqarifmdən cəbrə
  2. Üsullar və şərt
  3. Nümunələr
  4. Təyin oblastı
  5. Həyatda
  6. Özünü yoxla
  7. Xülasə

1 · Kəşf et

Loqarifmdən cəbrə bir addım

Dərslikdəki nümunəyə baxaq: x + y = 6 və log2x + log2y = 3. İki məchul, iki tənlik — sistemdir. Fərq yalnız ondadır ki, ikinci tənlikdə loqarifmlər var.

x + y = 6,log2x + log2y = 3

  1. Loqarifm yalnız müsbət ədəddən alınır: x > 0, y > 0. Dərslik də belə başlayır: «Aydındır ki, x > 0, y > 0 olmalıdır».
  2. Eyni əsaslı loqarifmlərin cəmi hasilin loqarifmidir: log2(xy) = 3, yəni xy = 23 = 8.
  3. İndi sistem adi cəbri sistemdir: y = 6 − x, x(6 − x) = 8, x2 − 6x + 8 = 0, x = 2 və ya x = 4.

    (2; 4) və (4; 2)

x + y = 6 və xy = 8 qrafiklərinin kəsişməsi Koordinat müstəvisində birinci rüb (x > 0, y > 0) rənglənib. x + y = 6 düz xətti xy = 8 hiperbolasını iki nöqtədə kəsir: (2; 4) və (4; 2). x y 2 4 2 4 (2; 4) (4; 2) x + y = 6 xy = 8
Hər tənlik bir xətt çəkir: x + y = 6 — düz xətt, xy = 8 — hiperbola. Onlar rənglənmiş oblastda (x > 0, y > 0) iki dəfə kəsişir, ona görə sistemin iki həlli var.

Deməli, loqarifmik sistemin əsas sirri sadədir: loqarifmləri xassələrlə «açırıq», qalanı artıq tanış cəbrdir. Yeganə yeni vəzifə — tapılan cütlərin loqarifmlərin təyin oblastına düşdüyünü yoxlamaqdır.

2 · Qayda

Üsullar və bir vacib şərt

Yadda saxla

Loqarifmik tənliklər sisteminin həllində də əvəzetmə, cəbri toplama və yeni dəyişən daxiletmə üsulları tətbiq edilir və loqarifmin xassələrindən istifadə olunur. Addımlar:

  1. Təyin oblastını yaz: hər loqarifmin arqumenti > 0, dəyişən əsas > 0 və ≠ 1.
  2. Xassələrlə loqarifmləri aradan qaldır: cəbri və ya üstlü tənlik al.
  3. Alınan sistemi tanış üsulla həll et.
  4. Hər cütü təyin oblastı ilə və ilkin sistemdə yoxla.

Hasil və qismət

logax + logay = loga(xy)

x > 0, y > 0 olanda. Fərq isə qismətin loqarifmidir: logax − logay = loga(x : y).

Qüvvət

k · logab = logabk

b > 0 olanda. 2log2(y − 1) = log2(y − 1)2, amma log2(2y − 2) deyil.

Bərabər loqarifmlər

logau = logav ⇔ u = v

u > 0, v > 0 şərti ilə (10-cu sinif dərsliyi, səh. 271).

Tərif

logaf = c ⇔ f = ac

Loqarifmik tənliyi ekvivalent üstlü yazılışla əvəz edirik.

3 · Nümunələr

Üç üsul — üç nümunə

Nümunə 1Cəbri toplama

log2x + log2y = 3,log2x − log2y = 1

  1. Təyin oblastı: x > 0, y > 0.
  2. u = log2x, v = log2y: u + v = 3, u − v = 1 — xətti sistem.
  3. Toplayırıq: 2u = 4, u = 2; onda v = 1.
  4. Tərifə görə: x = 22 = 4, y = 21 = 2. Yoxlama: 2 + 1 = 3, 2 − 1 = 1.

    (4; 2)

Nümunə 2Əvəzetmə: loqarifm və qüvvət birlikdə

log2(x − y) = 1,2x · 3y+1 = 72

  1. Təyin oblastı: x − y > 0.
  2. Birinci tənlikdən tərifə görə x − y = 2, yəni x = y + 2 (şərt ödənir).
  3. İkinci tənlikdə yerinə yazırıq: 2y+2 · 3y+1 = 72. Hər tərəfi 2-yə bölək: 2y+1 · 3y+1 = 36.
  4. Eyni üstlü qüvvətləri birləşdiririk: 6y+1 = 62, deməli y = 1, x = 3.

    (3; 1)

Nümunə 3Yeni dəyişən

logxy + logyx = 2,x2 + y = 12

  1. Əsaslarda dəyişən var: x > 0, x ≠ 1, y > 0, y ≠ 1.
  2. Əsasları yer dəyişmiş loqarifmlər qarşılıqlı tərsdir: logyx = 1 : logxy. t = logxy götürək: t + 1/t = 2.
  3. t2 − 2t + 1 = 0, yəni (t − 1)2 = 0, t = 1. Deməli logxy = 1, yəni y = x.
  4. x2 + x − 12 = 0 ⇒ x = 3 və ya x = −4. Mənfi ədəd əsas ola bilməz, qalır x = y = 3. Yoxlama: log33 + log33 = 2, 9 + 3 = 12.

    (3; 3)

4 · Diqqət

Təyin oblastı: xy > 0 kifayət deyil

Dərslikdəki tapşırıq: x − y = 6, log2x + log2y = 4. Hasil düsturundan xy = 16, x = y + 6 ⇒ y2 + 6y − 16 = 0 ⇒ y = 2 və ya y = −8. Cəbr iki cüt verir: (8; 2) və (−2; −8).

Səhv düşüncə

(8; 2) və (−2; −8)

(−2) · (−8) = 16 > 0, amma log2(−2) və log2(−8) ümumiyyətlə mövcud deyil.

Düzgün

yalnız (8; 2)

Hər loqarifmin arqumenti ayrıca müsbətdir: x > 0 və y > 0.

xy = 16 hiperbolası, y = x − 6 düz xətti və təyin oblastı Hiperbolanın iki qolu və düz xətt iki nöqtədə kəsişir: birinci rübdə (8; 2) və üçüncü rübdə (−2; −8). Yalnız birinci rüb rənglənib; (−2; −8) bu oblastdan kənardadır və üstündən xətt çəkilib. x y 2 4 2 −4 (8; 2) (−2; −8) y = x − 6 xy = 16
Hiperbolanın iki qolu var, düz xətt hər ikisini kəsir. Lakin loqarifmlərin təyin oblastı yalnız rənglənmiş birinci rübdür: (−2; −8) yad həlldir.

5 · Həyatda

Bakteriyalar nə qədər tez çoxalır?

Laboratoriyada bakteriyaların sayı ölçülür. Sadə modeldə hər T saatda say iki dəfə artır: N = N0 · 2t/T. Ölçmələr: 2 saatdan sonra 800, 5 saatdan sonra 6400 bakteriya. Başlanğıc say N0 və ikiqatlanma vaxtı T neçədir?

N0 · 22/T = 800,N0 · 25/T = 6400

Hər tənliyi log2 ilə loqarifmləyək. Hasil və qüvvət xassələrinə görə:

log2N0 + 2/T = log2800,log2N0 + 5/T = log26400

Bu, log2N0 və 1/T məchullarına görə xətti sistemdir. İkincidən birincini çıxaq: 3/T = log2(6400 : 800) = log28 = 3, yəni T = 1 saat. Onda log2N0 = log2800 − 2 = log2200, N0 = 200.

  1. 200
  2. ×2400
  3. ×2800
  4. ×21600
  5. ×23200
  6. ×26400
Yoxlama: N = 200 · 2t
t, saatN
0200
2200 · 22 = 800
5200 · 25 = 6400

Bu, sadələşdirilmiş modeldir: bütün bakteriyaların vaxtında bölündüyü və heç birinin məhv olmadığı fərz edilir.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    log3x + log3y = 2 olarsa, xy hasili neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür: hasilin loqarifmi, sonra tərif.

    Yox. log3(xy) = 2 deməkdir ki, xy = 32.

    Həllə bax

    log3x + log3y = log3(xy) = 2, deməli xy = 32 = 9.

  2. Asan

    log2x = 3,log2y = 1 sistemindən x + y cəmini tap.

    Cavab variantları

    Əla! x = 8, y = 2.

    Loqarifmlərin cəmi (4) və ya hasil (16) deyil — əvvəl x və y-i tap.

    Həllə bax

    x = 23 = 8, y = 21 = 2, cəm 10.

  3. Orta

    x + y = 5,lg x + lg y = lg 6 sistemini həll et.

    Cavab variantları

    Düzdür, sistem simmetrikdir.

    (1; 6)-da cəm 7-dir; tək (2; 3) isə yarımçıq cavabdır.

    Həllə bax

    lg(xy) = lg 6 ⇒ xy = 6; x + y = 5. Viyetə görə x və y ədədləri t2 − 5t + 6 = 0 tənliyinin kökləridir: 2 və 3. Həllər (2; 3) və (3; 2).

  4. Orta

    x − y = 3,log2x + log2y = 2 sistemini həll et.

    Cavab variantları

    Əla! Təyin oblastını unutmadın.

    (−1; −4) cütündə loqarifmlər mənasızdır; (1; 4)-də isə x − y = −3.

    Həllə bax

    xy = 22 = 4, x = y + 3 ⇒ y2 + 3y − 4 = 0 ⇒ y = 1 və ya y = −4. x > 0, y > 0 şərtinə görə yalnız (4; 1).

  5. Çətin

    log2x − log2y = 2,x − y = 6 sistemindən x + y cəmini tap.

    Cavab variantları

    Düzdür: x = 8, y = 2.

    Loqarifmlər fərqi 2-dirsə, x : y = 22 = 4 olur, 2 yox.

    Həllə bax

    log2(x : y) = 2 ⇒ x = 4y. Onda 4y − y = 6 ⇒ y = 2, x = 8; x + y = 10. (8 — yalnız x-dir.)

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Əvvəl təyin oblastıHər loqarifmin arqumenti ayrıca müsbətdir; dəyişən əsas müsbət və 1-dən fərqlidir.
  • Loqarifm → cəbrHasil, qismət, qüvvət xassələri və tərif sistemi tanış cəbri sistemə çevirir.
  • Hər cütü yoxlaÇevrilmiş sistemin yad həlləri ola bilər; simmetrik ikinci cütü də unutma.

Bu mövzu 11-ci sinif tənliklər bölməsini tamamlayır: ümumiləşdirici tapşırıqlarla təkrar et.