• 6.65
  • 11-ci sinif
  • Tənliklər və bərabərsizliklər

İrrasional tənliklər və bərabərsizliklər

√x − 3 = 5 − x tənliyini kvadrata yüksəldəndə iki ədəd alınır: 4 və 7. Amma tənliyin kökü onlardan yalnız biridir. Hansı — və o biri haradan gəldi?

Bu dərsdə

  • irrasional tənliyi qüvvətə yüksəltməklə həll edib yad kökləri yoxlama ilə atacaqsan;
  • √f(x) = g(x) tənliyini eynigüclü sistemə gətirməyi öyrənəcəksən;
  • irrasional bərabərsizlikləri təyin oblastı və işarə şərtləri ilə rasional sistemlərə gətirəcəksən.
√(x − 3) = 5 − x: bir həqiqi kök və bir yad kök Koordinat müstəvisində mavi əyri y = √(x − 3) və narıncı düz xətt y = 5 − x yalnız (4; 1) nöqtəsində kəsişir: x = 4 tənliyin köküdür. Qırmızı qırıq əyri y = −√(x − 3) düz xətti (7; −2) nöqtəsində kəsir: kvadrata yüksəltmədən alınan x = 7 yad kökdür. x = 4 ✓ x = 7 ✗ y = √(x − 3) y = 5 − x y = −√(x − 3)
  1. Kəşf et
  2. Tərif və qayda
  3. Nümunələr
  4. Diqqət
  5. Bərabərsizliklər
  6. Tətbiq
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kvadrat işarəni «unudur»

Herodakı iki ədəddən biri niyə artıqdır? Səbəb kvadrata yüksəltmənin özündədir: fərqli ədədlərin kvadratı eyni ola bilər.

Cüt qüvvət

3² = 9 = (−3)²

3 ≠ −3, amma kvadratları bərabərdir: işarə itir.

Tək qüvvət

(−2)³ = −8, 2³ = 8

Kub işarəni saxlayır, ona görə tək qüvvət yeni ədəd əlavə etmir.

Nəticə

a = b ⇒ a² = b²

Tərsi isə doğru deyil: a² = b² olsa da, a = −b ola bilər.

Herodakı tənlikdə də belədir: √x − 3 = 5 − x və −√x − 3 = 5 − x tənlikləri kvadrata yüksəldiləndə eyni tənliyə çevrilir: x − 3 = (5 − x)². Onun iki kökündən 4 birinci tənliyə, 7 isə ikinci — qırmızı qırıq əyrinin — tənliyinə aiddir.

2 · Tərif və qayda

İrrasional tənlik nədir?

Tərif

Radikal işarəsi altında (yaxud kəsr üstlü qüvvətə yüksəldilmiş) dəyişəni olan tənliyə irrasional tənlik deyilir. Məsələn: √x − 1 = 5, ∛(x + 2) − x = 3.

√f(x) = g(x) ⇔ f(x) = g(x)²,g(x) ≥ 0

Həll edərkən nəzərə alırıq:

  • həll həqiqi ədədlər çoxluğunda axtarılır;
  • cüt dərəcəli radikalın hesabi (mənfi olmayan), tək dərəcəlinin isə həqiqi qiyməti götürülür;
  • hər iki tərəfi tək dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə eynigüclü tənlik alınır;
  • cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltdikdə dəyişənin mümkün qiymətləri genişlənə bilər, ona görə tapılan hər ədədi verilmiş tənlikdə yoxlayırıq.
√(x − 3) = 5 − x tənliyinin hissələri Kökaltı ifadə x − 3 mavi mötərizə ilə: x − 3 ≥ 0 olmalıdır. Sağ tərəf 5 − x narıncı mötərizə ilə: 5 − x ≥ 0 olmalıdır, çünki kök mənfi olmur. Aşağı ox kvadrata yüksəltməni göstərir: x − 3 = (5 − x)². √(x − 3) = 5 − x x − 3 ≥ 0 kökaltı mənalı 5 − x ≥ 0 çünki √ ≥ 0 kvadrata yüksəlt x − 3 = (5 − x)²
Mavi şərt kökaltını, narıncı şərt sağ tərəfi qoruyur; yalnız bundan sonra kvadrata yüksəldirik.

3 · Nümunələr

Addım-addım həll edirik

Nümunə 1Radikal və xətti ifadə

√x − 3 + x = 5 tənliyini həll edin.

  1. Radikalı bir tərəfdə saxlayırıq: √x − 3 = 5 − x.
  2. Hər iki tərəfi kvadrata yüksəldirik: x − 3 = (5 − x)² = 25 − 10x + x².
  3. Sadələşdiririk: x² − 11x + 28 = 0, buradan x₁ = 4, x₂ = 7.
  4. Yoxlayırıq: x = 4 olduqda √1 + 4 = 5 ✓; x = 7 olduqda √4 + 7 = 9 ≠ 5 ✗. Sistemlə də görünür: 5 − x ≥ 0 tələb edir ki, x ≤ 5 olsun.

Cavab: {4}

Nümunə 2Hasil sıfra bərabərdir

(x² − 1)√x + 5 = 0 tənliyini ödəyən neçə həqiqi ədəd var?

  1. Təyin oblastı: x + 5 ≥ 0, yəni x ≥ −5.
  2. Vuruqları sıfra bərabərləşdiririk: x² − 1 = 0 ⇒ x = ±1; √x + 5 = 0 ⇒ x = −5.
  3. Hər üç namizəd x ≥ −5 şərtini ödəyir, ona görə hamısı kökdür. (Namizəd oblastdan kənarda olsaydı, atılardı.)

3 kök: −5; −1; 1

Nümunə 3İki radikal

√2x + 3 − √x + 1 = 1 tənliyini həll edin.

  1. Bir radikalı ayırırıq: √2x + 3 = 1 + √x + 1 (sağ tərəf müsbətdir).
  2. Kvadrata yüksəldirik: 2x + 3 = 1 + 2√x + 1 + x + 1 ⇒ x + 1 = 2√x + 1.
  3. t = √x + 1 ≥ 0 işarə edək: t² = 2t ⇒ t = 0 və ya t = 2.
  4. √x + 1 = 0 ⇒ x = −1; √x + 1 = 2 ⇒ x = 3. Yoxlama: √1 − √0 = 1 ✓, √9 − √4 = 1 ✓.

Cavab: {−1; 3}

4 · Diqqət

Tez-tez edilən iki səhv

Yoxlamasız cavab

x² − 11x + 28 = 0 ⇒ {4; 7}

Kvadrata yüksəltmədən sonra alınan hər kök ilkin tənliyin kökü deyil.

Yoxlama və ya şərt

5 − x ≥ 0 ⇒ yalnız x = 4

Şərt (və ya yerinə yazmaq) yad kökü dərhal atır.

Fərqin kökü kimi

√a − √b = √a − b

Yanlışdır: √25 − √9 = 2, amma √16 = 4.

Bir radikalı ayırmaq

√a = c + √b

Sonra kvadrata yüksəldirik: a = c² + 2c√b + b.

5 · Bərabərsizliklər

İrrasional bərabərsizliklər

Tərif

Radikal işarəsi altında dəyişəni olan bərabərsizlik irrasional bərabərsizlikdir. Onun da həlli həqiqi ədədlərdə axtarılır və kökün, bərabərsizliklərin xassələri ilə rasional bərabərsizliklər sisteminə gətirilir.

Kök kiçikdir

√f < g ⇔ f ≥ 0,g > 0,f < g²

Sol tərəf ≥ 0 olduğundan sağ tərəf müsbət olmalıdır.

Kök böyükdür

√f > g

1) g < 0 olduqda: f ≥ 0 olan hər x həlldir. 2) g ≥ 0 olduqda: f > g². Cavab — iki halın birləşməsi.

Nümunə 4Kök ədəddən kiçikdir

√x² − 8x < 3 bərabərsizliyini həll edin.

  1. Eynigüclü sistem: x² − 8x ≥ 0 (kök mənalı) və x² − 8x < 9 (kvadrata yüksəltdik).
  2. Vuruqlara ayırırıq: x(x − 8) ≥ 0 ⇒ x ≤ 0 və ya x ≥ 8.
  3. (x − 9)(x + 1) < 0 ⇒ −1 < x < 9.
  4. İntervallar üsulu ilə kəsişməni tapırıq (şəkil).

(−1; 0] ∪ [8; 9)

√(x² − 8x) < 3 üçün iki şərtin kəsişməsiBirinci sıra: x(x − 8) ≥ 0, yəni x ≤ 0 və ya x ≥ 8 (0 və 8 dolu nöqtə). İkinci sıra: (x − 9)(x + 1) < 0, yəni −1 < x < 9 (boş nöqtələr). Üçüncü sıra: kəsişmə (−1; 0] ∪ [8; 9).x(x − 8) ≥ 0x−1089(x − 9)(x + 1) < 0x−1089Kəsişməx−1089
Mavi və narıncı şərtlərin ortaq hissəsi yaşıldır: 0 və 8 daxildir (orada kök 0 < 3), −1 və 9 daxil deyil (orada kök 3-ə bərabərdir). Sxem miqyassızdır.
Nümunə 5Kök ifadədən böyükdür

√x + 3 > x + 1 bərabərsizliyini həll edin.

  1. 1-ci hal: x + 1 < 0. Sol tərəf ≥ 0 > sağ tərəf, ona görə x + 3 ≥ 0 olan bütün x uyğundur: [−3; −1).
  2. 2-ci hal: x + 1 ≥ 0. Kvadrata yüksəldirik: x + 3 > (x + 1)² ⇒ x² + x − 2 < 0 ⇒ −2 < x < 1; x ≥ −1 ilə: [−1; 1).
  3. Birləşdiririk: [−3; −1) ∪ [−1; 1) = [−3; 1).

[−3; 1)

y = √(x + 3) və y = x + 1 qrafikləriMavi əyri y = √(x + 3) x = −3-dən başlayır, narıncı düz xətt y = x + 1 onu (1; 2) nöqtəsində kəsir. −3 ≤ x < 1 aralığında əyri düz xəttin üstündədir; bu aralıq x oxunda yaşıl zolaqdır.y = √(x + 3)y = x + 1həllər: −3 ≤ x < 1xy−3−112(1; 2)
Mavi əyri −3-dən 1-ə qədər narıncı düz xəttin üstündədir; x = 1-də onlar bərabərdir, ona görə 1 həllə daxil deyil.

6 · Tətbiq

Absis oxunda hansı nöqtə A və B-dən eyni uzaqdadır?

Absis oxunda A və B nöqtələrindən eyni məsafədə olan P nöqtəsi Fəza koordinat sistemində A(3; 2; 2) mavi, B(5; 5; 4) narıncı nöqtədir. Absis oxu üzərindəki yaşıl P(x; 0; 0) nöqtəsindən A və B-yə çəkilmiş parçalar bərabərdir: PA = PB. Sxem miqyassızdır. x y z O A B P A(3; 2; 2) B(5; 5; 4) P(x; 0; 0) PA = PB
P nöqtəsi absis oxu üzərindədir və A, B nöqtələrinə qədər məsafələri bərabərdir. Sxem miqyassızdır.

Fəzada iki nöqtə arasındakı məsafə kökaltı ifadə ilə verilir:

PQ = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²

Ona görə «eyni məsafə» şərti irrasional tənlikdir. Dərslikdəki nümunə: A(3; 2; 2) və B(5; 5; 4) nöqtələrindən eyni məsafədə olan və absis oxu üzərində yerləşən P(x; 0; 0) nöqtəsini tapaq.

PA = PB:√(x − 3)² + 2² + 2² = √(x − 5)² + 5² + 4²(x − 3)² + 8 = (x − 5)² + 41x² − 6x + 17 = x² − 10x + 664x = 49 ⇒ x = 12,25

Burada yad kök yarana bilməz: hər iki kökaltı ifadə həmişə müsbətdir, hər iki tərəf mənfi deyil, ona görə kvadrata yüksəltmə eynigüclü keçiddir. Cavab: P(12,25; 0; 0).

Yoxlama: PA² = 9,25² + 8 = 93,5625 və PB² = 7,25² + 41 = 93,5625.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    √x + 1 = 3 tənliyinin kökünü tap.

    Cavab variantları

    Düzdür! x + 1 = 9, x = 8.

    Kvadrata yüksəlt: x + 1 = 3² = 9.

    Həllə bax

    x + 1 = 9 ⇒ x = 8. Yoxlama: √9 = 3 ✓.

  2. Asan

    √x − 5 = −2 tənliyinin neçə kökü var?

    Cavab variantları

    Düzdür! Hesabi kök mənfi ola bilməz.

    x = 9 yoxla: √4 = 2, −2 deyil.

    Həllə bax

    Sol tərəf hesabi kökdür, ≥ 0; sağ tərəf −2 < 0. Bərabərlik heç vaxt ödənmir. Kvadrata yüksəltmədən alınan x = 9 yad kökdür.

  3. Orta

    √x + 6 = x tənliyini həll et.

    Cavab variantları

    Əla! −2 yad kökdür.

    x = −2-ni yoxla: √4 = 2, amma sağ tərəf −2.

    Həllə bax

    x + 6 = x² ⇒ x² − x − 6 = 0 ⇒ x = 3 və ya x = −2. Sağ tərəf x ≥ 0 olmalıdır, ona görə yalnız x = 3.

  4. Orta

    √x − 1 < 2 bərabərsizliyinin həlli hansıdır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Təyin oblastını unutmadın.

    Kökaltı mənalı olmalıdır: x − 1 ≥ 0.

    Həllə bax

    0 ≤ x − 1 < 4 ⇒ 1 ≤ x < 5. x = 1 daxildir (0 < 2), x = 5 daxil deyil (2 < 2 yalandır).

  5. Çətin

    √x + 2 > x bərabərsizliyini həll et.

    Cavab variantları

    Əla! İki halı birləşdirdin.

    x < 0 halını unutma: orada sol tərəf ≥ 0 > x.

    Həllə bax

    1) x < 0: x + 2 ≥ 0 olan hər x uyğundur ⇒ [−2; 0). 2) x ≥ 0: x + 2 > x² ⇒ −1 < x < 2 ⇒ [0; 2). Birləşmə: [−2; 2).

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Yoxla!Cüt dərəcədən qüvvətə yüksəltmə yad kök verə bilər: tapılan hər ədədi ilkin tənlikdə yoxla.
  • √f = g ⇔ f = g², g ≥ 0Sağ tərəfin işarə şərti yoxlamanı əvəz edə bilər.
  • Bərabərsizlikdə şərtlərTəyin oblastı, sağ tərəfin işarəsi və kvadrat şərt — cavab onların kəsişməsi və ya birləşməsidir.

Növbəti mövzu: 6.66 Üstlü tənliklər sistemi