• 6.59
  • 11-ci sinif
  • İnteqral

Fırlanmadan alınan fiqurların həcmi

Dulusçu çarxında fırlanan gil kasaya çevrilir. Kasaya nə qədər su sığar? Cavab bir əyridə gizlənib: əyrinin altındakı fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır, alınan cismi nazik disklərə bölüb həcmlərini inteqralla toplayırıq.

Bu dərsdə

  • müstəvi fiqurun fırlanmasından alınan cismi təsəvvür edəcək, dilimin radiusunu f(x) kimi tanıyacaqsan;
  • V = π∫(f(x))²dx düsturunun dilimləmə üsulundan necə alındığını izah edəcəksən;
  • düsturu çoxhədli, konus və iki əyri arasındakı fiqur üçün tətbiq edəcəksən.
y = f(x) əyrisinin altındakı fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır və fırlanma cismi alınır Koordinat müstəvisində [a; b] parçasında y = f(x) əyrisi ilə Ox oxu arasındakı yaşıl fiqur. Solda ox ətrafında dairəvi ox işarəsi fırlanmanı göstərir. Fiqur fırlananda mavi fırlanma cismi alınır. Cismin içində narıncı nazik disk seçilib: onun radiusu r = f(x), qalınlığı dx-dir. Yuxarıdakı kart: V = π, a-dan b-yə qədər inteqral, f(x)-in kvadratı, dx. ab y = f(x) r = f(x) dx V = π∫baf2(x) dx
  1. Dilimlərə böl
  2. Disk düsturu
  3. Hesabla
  4. İki əyri
  5. Diqqət
  6. Həyatda
  7. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Cismi dilimlərə bölək

Sahə müstəvi fiqurların, həcm isə fəza cisimlərinin ədədi ölçüsüdür. Prizma, silindr, konus və kürənin həcm düsturlarını bilirsən. Bəs kasa kimi əyri səthli cismin həcmini necə tapaq?

10-cu sinifdə Kavalyeri prinsipi ilə tanış olmusan: iki cismi paralel müstəvilərlə kəsəndə alınan kəsiklərin sahələri bərabərdirsə, həcmləri də bərabərdir. Bu prinsipi italyan riyaziyyatçısı Bonaventura Kavalyeri (1598–1647) aşkar etmişdir. Deməli, həcmi kəsiklərin sahələri müəyyən edir — bu fikirdən dilimləmə üsulu (kəsikləri toplama) yaranır.

Cismi Ox oxuna perpendikulyar müstəvilərlə qalınlığı Δx olan nazik dilimlərə bölək. xi nöqtəsindən keçən kəsiyin sahəsi S(xi)-dirsə, dilimin həcmi təqribən S(xi)·Δx-dir. Bütün dilimləri toplayırıq, Δx-i isə getdikcə kiçildirik:

V ≈ ΣS(xi)·ΔxV = limΔx→0 ΣS(xi)·Δx = inteqral a-dən b-ə qədər S(x) dx

Sonuncu bərabərlik müəyyən inteqralın tərifidir: həcm kəsiyin sahəsinin inteqralıdır.

İndi bunu fırlanma cismində yoxlayaq. y = √x əyrisinin [0; 4] parçasındakı hissəsi Ox oxu ətrafında fırlananda alınan cismin hər kəsiyi dairədir. Cismi n diskə bölək: hər diskin qalınlığı Δx = 4/n, radiusu isə diskin sol ucunda √xi-dir. Bir diskin həcmi π·(√xi)²·Δx = π·xi·Δx olur.

Neçə disk götürək?
y = √x əyrisinin [0; 4] parçasında fırlanmasından alınan cismi disklərlə doldururuq Ox oxu ətrafında y = √x əyrisi fırlanır; alınan cismin konturu qırıq xətlə çəkilib. Cismin içində n sayda narıncı disk var: hər diskin qalınlığı Δx = 4/n, radiusu diskin sol ucundakı √x qiymətidir. n artdıqca disklər cismi daha dolğun doldurur. y = √x 0 1 2 3 4 Ox

n = 4, Δx = 1: π(0 + 1 + 2 + 3)·1 = 6π.

n = 8, Δx = 0,5: π(0 + 0,5 + 1 + … + 3,5)·0,5 = π·14·0,5 = 7π.

n = 16, Δx = 0,25: π(0 + 0,25 + … + 3,75)·0,25 = π·30·0,25 = 7,5π.

Disklər cismin içində qalır, ona görə cəm həcmdən bir qədər kiçikdir. n artdıqca cəm 6π → 7π → 7,5π böyüyür və dəqiq həcmə yaxınlaşır. Onu növbəti addımdakı düsturla tapacağıq.

2 · Qayda

Disk düsturu

f(x) funksiyası [a; b] parçasında kəsilməz və f(x) ≥ 0 olsun. Qrafik, Ox oxu və x = a, x = b düz xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır. Qrafikin hər nöqtəsi radiusu f(x) olan çevrə cızır, ona görə hər kəsik dairədir: S(x) = π(f(x))².

Yadda saxla

Fırlanmadan alınan cismin həcmi:

V = πinteqral a-dən b-ə qədər (f(x))2 dx

Hər dilim alçaq silindrdir (disk): radiusu r = f(x), hündürlüyü — qalınlığı dx. Silindrin həcmi πr²h olduğundan diskin həcmi π(f(x))²dx-dir; inteqral bütün diskləri toplayır.

Bir disk: radiusu f(x), qalınlığı dx Ox oxu üzərində nazik silindr (disk). Qırıq xətlə çəkilmiş y = f(x) əyrisi diskin yuxarı kənarından keçir. Mavi xətt diskin radiusudur: r = f(x). Diskin altındakı narıncı mötərizə onun qalınlığını göstərir: dx. Diskin həcmi π·(f(x))²·dx-dir. Ox y = f(x) r = f(x) dx
Bir disk: mavi — radius f(x), narıncı — qalınlıq dx. Həcmi π(f(x))²dx.

Kəşf et addımındakı cismə tətbiq edək: f(x) = √x, [0; 4].

V = πinteqral 0-dən 4-ə qədər (√x)² dx = πinteqral 0-dən 4-ə qədər x dx   = π·x²2 / |04 = π·162 / = 8π

Disklərin cəmi (6π, 7π, 7,5π) məhz 8π-yə yaxınlaşırdı. Hesablamada Nyuton–Leybnis düsturundan istifadə edirik: inteqral a-dən b-ə qədər g(x)dx = G(b) − G(a), burada G — g-nin ibtidai funksiyasıdır.

1 · Şəkil çək

fiqur → cisim

Fiquru və fırlanma oxunu çək, dilimin dairə olduğunu gör.

2 · Radiusu yaz

r = f(x)

Kəsiyin sahəsini x-in funksiyası kimi yaz: S(x) = π(f(x))².

3 · İnteqralla

πinteqral a-dən b-ə qədər f² dx

Sərhədləri a və b olan inteqralı Nyuton–Leybnis düsturu ilə hesabla.

3 · Hesabla

Düsturu tətbiq edək

Nümunə 1Çoxhədli

f(x) = x² + 1 funksiyasının qrafiki ilə [−1; 2] parçasında hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır. Alınan cismin həcmini tapın.

  1. Radius f(x) = x² + 1-dir: V = πinteqral −1-dən 2-ə qədər (x² + 1)² dx.
  2. Kvadrata yüksəldirik: (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.
  3. İbtidai funksiya: F(x) = x⁵5 / + 2x³3 / + x.
  4. F(2) = 325 / + 163 / + 2 = 20615 / , F(−1) = −15 / − 23 / − 1 = −2815 / .
  5. Fərq: π·(20615 / + 2815 / ) = π·23415 / = 78π5 / .

    V = 78π/5 kub vahid

Nümunə 2Konusun düsturu haradan gəlir?

Oturacağının radiusu r, hündürlüyü h olan konusun həcmini inteqralla tapın.

  1. Konusun təpəsini O nöqtəsinə, oxunu Ox oxu üzərinə qoyaq. Konus düz xəttin altındakı üçbucağın fırlanmasından alınır: radius 0-dan r-ə qədər bərabər artır, f(x) = rh / x, x ∈ [0; h].
  2. V = πinteqral 0-dən h-ə qədər r²x²h² / dx = π·r²h² / ·x³3 / |0h = π·r²h² / ·h³3 / .

    V = πr²h/3 — bildiyimiz konus düsturu

4 · İki əyri

Dilim halqa olanda

Fiqur iki əyri arasındadırsa — yuxarıda f(x), aşağıda g(x), f(x) ≥ g(x) ≥ 0 — fırlananda cismin ortası boş qalır. Onda dilim disk deyil, halqadır: böyük dairədən kiçik dairə çıxılır.

İki əyri arasındakı fiqur fırlananda dilim halqa olur y = √x və y = x xətləri x = 0 və x = 1 nöqtələrində kəsişir; aralarındakı yaşıl fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır. Alınan cismin aşağı yarısı qırıq xətlərlə göstərilib. x = 0,6 nöqtəsindəki dilim narıncı halqadır: xarici radiusu R = √x (mavi), daxili radiusu r = x (qırmızı). Halqanın sahəsi π(R² − r²)-dir. x Rr y = √x y = x 01 R = √x — xarici radiusr = x — daxili radius
x = 0,6-dakı dilim: xarici radius √x, daxili radius x.

Halqa düsturu

V = πinteqral a-dən b-ə qədər (f² − g²) dx

Halqanın sahəsi πf² − πg²-dir: kvadratların fərqi.

Yuxarıdakı əyri parçanın ortasında dəyişirsə, parçanı o nöqtədə bölüb həcmi iki inteqralın cəmi kimi hesablayırıq.

Nümunə 3√x ilə x arasında

y = √x və y = x xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox oxu ətrafında fırlanır. Cismin həcmini tapın.

  1. Kəsişmə nöqtələri: √x = x ⇒ x = 0 və x = 1. Arada √x böyükdür (məsələn, √0,25 = 0,5 > 0,25), deməli f = √x, g = x.
  2. V = πinteqral 0-dən 1-ə qədər ((√x)² − x²) dx = πinteqral 0-dən 1-ə qədər (x − x²) dx.
  3. π(x²2 / − x³3 / )|01 = π(12 / − 13 / ) = π6 / .

    V = π/6 kub vahid

5 · Diqqət

Fərqi yox, kvadratları çıx

Səhv

πinteqral 0-dən 1-ə qədər (√x − x)² dx = π30 /

Radiusların fərqini kvadrata yüksəltmək halqanı radiusu R − r olan kiçik dairəyə çevirir.

Düzgün

πinteqral 0-dən 1-ə qədər (x − x²) dx = π6 /

Əvvəl hər radiusu kvadrata yüksəlt, sonra çıx: R² − r².

Halqanın sahəsi radiusların fərqinin kvadratı deyil Solda xarici radiusu 3, daxili radiusu 2 olan narıncı halqa: sahəsi π(3² − 2²) = 5π. Sağda radiusu 3 − 2 = 1 olan kiçik qırmızı dairə: sahəsi π. Halqa beş dəfə böyükdür, ona görə π(R − r)² yazmaq səhvdir. 32 R = 3, r = 2 π(3² − 2²) = 5π ≠ R − r = 1 π(3 − 2)² = π
R = 3, r = 2 olan halqanın sahəsi 5π-dir, radiusu 1 olan dairəninki isə cəmi π. Eyni səhvin başqa forması — kvadratı ümumiyyətlə unutmaq: π∫f dx həcm vermir.

6 · Həyatda

Dulusçunun kasası

Dulusçu çarxında gil öz oxu ətrafında fırlanır, usta isə profili — kasanın kəsikdəki əyrisini — əli ilə formalaşdırır. Deməli, hər dulus qabı bir fırlanma cismidir. Kasanı yan üstə qoysaq, oxu Ox oxu olar.

Kasa: y = 3√x əyrisinin fırlanmasından alınan qab və eyni ölçülü silindr Ağzı yuxarı duran gil kasa. Onun şaquli oxu x oxudur: dibdən ağıza qədər 9 sm. Kəsikdə daxili səth y = 3√x əyrisidir; ağzın radiusu 9 sm. Kasanın ətrafında qırıq xətlə radiusu və hündürlüyü 9 sm olan silindr çəkilib. Kasa bu silindrin həcminin yarısını tutur. x y = 3√x r = 9 sm 9 sm qırıq xətt: eyni ölçülü silindr
Kasanın daxili səthi y = 3√x əyrisinin fırlanmasıdır; ağzının radiusu 9 sm, dərinliyi 9 sm.

Tutaq ki, kasanın daxili profili y = 3√x, 0 ≤ x ≤ 9 (santimetrlə) əyrisidir: x — dibdən ağza doğru məsafə, y — həmin hündürlükdə radius. Kasaya nə qədər su sığar?

V = πinteqral 0-dən 9-ə qədər (3√x)² dx = πinteqral 0-dən 9-ə qədər 9x dx   = π·9x²2 / |09 = 729π2 / = 364,5π   ≈ 1145 sm³ ≈ 1,1 litr

Kasa və eyni ölçülü silindr
CisimHəcm
Silindr, r = 9, h = 9π·9²·9 = 729π
Kasa, y = 3√x364,5π

Kasa eyni radiuslu və eyni dərinlikli silindrin düz yarısını tutur. Bu, kasanın divarı əyri olduğuna görədir: dibə yaxın radius kiçikdir.

Bu, dərs üçün seçilmiş sadə modeldir: əsl kasanın dibi yastıdır və profili tam olaraq 3√x deyil, amma həcm eyni yolla — profili inteqrallayaraq — tapılır.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    y = 2x funksiyasının qrafikinin [0; 1] parçasındakı hissəsi Ox oxu ətrafında fırlanır. Hansı fiqur alınır?

    Cavab variantları

    Düzdür! Radius 0-dan 2-yə qədər bərabər artır.

    Yox. Radius y = 2x sabit deyil, x = 0-da sıfırdır — təpə nöqtəsi var.

    Həllə bax

    Fırlanan hissə O(0; 0) və (1; 2) nöqtələrini birləşdirən parçadır. x = 0-da radius 0 (təpə), x = 1-də 2 (oturacaq). Bu, hündürlüyü 1, radiusu 2 olan konusdur.

  2. Asan

    f(x) = x funksiyasının qrafiki ilə [0; 1] parçasında hüdudlanmış fiqur Ox ətrafında fırlanır. Həcm neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! π∫x²dx = π/3.

    Yox. Radiusu kvadrata yüksəlt və π vuruğunu unutma: V = π∫x²dx.

    Həllə bax

    V = π∫01 x² dx = π·x³/3 |01 = π/3. π/2 kvadratı unudanda (π∫x dx), 1/3 isə π-ni unudanda alınır.

  3. Orta

    f(x) = x + 1, [0; 3]. Ox ətrafında fırlanmadan alınan cismin həcmini tap.

    Cavab variantları

    Düzdür: π·(64 − 1)/3 = 21π.

    Yoxla: (x + 1)²-nin ibtidaisi (x + 1)³/3-dür — həm kvadrat, həm 1/3 lazımdır.

    Həllə bax

    V = π∫03(x + 1)² dx = π·(x + 1)³/3 |03 = π(64 − 1)/3 = 21π. 7,5π kvadratsız, 63π isə 1/3-siz alınır.

  4. Orta

    y = |x| funksiyasının x ∈ [2; 5] parçasındakı qrafiki absis oxu ətrafında fırlanır. Cismin həcmini tap (π = 3).

    Cavab variantları

    Bəli: 39π = 39·3 = 117.

    Yox. [2; 5]-də |x| = x; V = π∫x²dx, ibtidai x³/3.

    Həllə bax

    [2; 5]-də |x| = x. V = π∫25 x² dx = π(125 − 8)/3 = 39π = 39·3 = 117. Bu cisim kəsik konusdur. 31,5 kvadratsız, 351 isə 1/3-siz alınır.

  5. Çətin

    y = x² və y = x xətləri ilə hüdudlanmış fiqur Ox ətrafında fırlanır. Həcm neçədir?

    Cavab variantları

    Əla! Kvadratların fərqi: π∫(x² − x⁴)dx.

    Yox. [0; 1]-də x ≥ x²; halqa düsturu: π∫(x² − (x²)²)dx.

    Həllə bax

    Kəsişmə: x = 0 və x = 1; arada x ≥ x². V = π∫01(x² − x⁴) dx = π(1/3 − 1/5) = 2π/15. π/30 fərqi kvadrata yüksəldəndə, π/6 isə radiusları kvadrata yüksəltməyəndə alınır.

  6. Çətin

    y = √(R² − x²), −R ≤ x ≤ R yarımçevrəsi Ox ətrafında fırlanır. Alınan kürənin həcmi neçədir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Kürənin həcm düsturunu inteqralla çıxardın.

    Yox. (√(R² − x²))² = R² − x²; inteqralı bütün [−R; R] parçasında hesabla.

    Həllə bax

    V = π∫−RR(R² − x²) dx = π(R²x − x³/3)|−RR = π(2R³ − 2R³/3) = 4πR³/3. 2πR³/3 yalnız [0; R] yarısı — yarımkürədir.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • V = πinteqral a-dən b-ə qədər (f(x))² dxHər dilim disk: radiusu f(x), qalınlığı dx; inteqral diskləri toplayır.
  • πinteqral a-dən b-ə qədər (f² − g²) dxİki əyri arasında dilim halqadır: əvvəl kvadratla, sonra çıx.
  • şəkil → radius → inteqralFırlanma cismini çək, radiusu f(x) kimi yaz, Nyuton–Leybnis düsturu ilə hesabla.

Növbəti mövzu: 6.60 Statistik göstəricilər