• 6.7
  • 11-ci sinif
  • Çoxhədlilər

Çoxhədli funksiya

Yüz nöqtə hesablamadan f(x) = x3 − 4x2 − 4x + 16 funksiyasının qrafikini çəkmək olarmı? Olar: uclar baş həddən, x oxu ilə kəsişmələr sıfırlardan, aradakı forma isə bir neçə qiymətdən görünür.

Bu dərsdə

  • baş həddə görə qrafikin uclarının hara getdiyini və qiymətlər çoxluğunun növünü təyin edəcəksən;
  • sıfırlara görə qrafikin x oxunu harada kəsdiyini, harada ona toxunub döndüyünü biləcəksən;
  • dörd addımla sxematik qrafik quracaq, qrafikdən isə dərəcə və baş əmsal haqqında nəticə çıxaracaqsan.
f(x) = x³ − 4x² − 4x + 16 funksiyasının qrafiki Dəqiq qrafik. Qrafik x oxunu −2, 2 və 4 nöqtələrində kəsir, y oxunu 16-da kəsir. Sol ucu aşağı, mənfi sonsuzluğa, sağ ucu yuxarı, müsbət sonsuzluğa gedir. f(x) = x³ − 4x² − 4x + 16xy−22416−∞+∞
  1. Uzaqdan bax
  2. Uclar
  3. Sıfırlar
  4. Dörd addım
  5. Qrafikdən oxu
  6. Diqqət
  7. Həyatda
  8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Uzaqdan baxanda yalnız baş hədd qalır

Çoxhədlinin qrafikinə yaxından baxanda sıfırlar və «dalğalar» görünür, uzaqdan baxanda isə yalnız iki uc qalır. Yuxarıdakı f(x) = x3 − 4x2 − 4x + 16 funksiyasını onun baş həddi y = x3 ilə üç miqyasda müqayisə et.

Hansı miqyasda baxaq?
f(x) və y = x³ üç miqyasda Mavi xətt f(x) = x³ − 4x² − 4x + 16, narıncı qırıq xətt y = x³. Yaxından baxanda (x −3-dən 5-ə qədər) əyrilər çox fərqlidir: f üç dəfə x oxunu kəsir. |x| təxminən 20 olan pəncərədə əyrilər yaxınlaşır, |x| təxminən 100 olan pəncərədə demək olar ki, üst-üstə düşür. xy−22420−20xy−20−1010204000−4000xy−100−505010010⁶−10⁶

Yaxından: f-in üç sıfırı və iki dönməsi görünür; x3 isə tamam başqa əyridir.

|x| ≈ 20: f(20) = 6336, 203 = 8000. Nisbət ≈ 0,79 — əyrilər yaxınlaşır, dalğalar kiçilir.

|x| ≈ 100: f(100) = 959 616, 1003 = 1 000 000. Nisbət ≈ 0,96 — bu miqyasda f və x3 demək olar ki, eyni əyridir.

Hər iki əyri dəqiq hesablanıb. Miqyas böyüdükcə «dalğalar» görünməz olur, uclar isə x3-ün ucları kimi qalır.
f(x) baş həddə nə qədər yaxındır?
xf(x)x3f(x) : x3
1057610000,576
100959 6161 000 000≈ 0,960
1000995 996 0161 000 000 000≈ 0,996
−100−1 039 584−1 000 000≈ 1,040

Niyə belədir? x3-ü mötərizə xaricinə çıxaraq:

f(x) = x3 · (1 − 4x / − 4x2 / + 16x3 / ).

|x| böyüdükcə kəsrlər sıfıra yaxınlaşır və mötərizə 1-ə yaxınlaşır. Deməli, uzaqda f(x) ilə x3 eyni işarəlidir və eyni sürətlə böyüyür. Dərslik bunu belə deyir: «Arqumentin modulca böyük qiymətlərində çoxhədli özünü baş hədlə ifadə olunmuş y = anxn funksiyası kimi aparır.»

2 · Qayda

Çoxhədli funksiya və onun ucları

Yadda saxla

Çoxhədli funksiya standart şəkildə f(x) = anxn + an−1xn−1 + … + a1x + a0 kimi yazılır. Sağ tərəfin quruluşu:

anxn + an−1xn−1 + … + a0

anxn — baş hədd, an ≠ 0 — baş əmsal, n — çoxhədlinin dərəcəsi. «İstənilən çoxhədli funksiya bütün həqiqi ədədlər çoxluğunda təyin olunub və qrafiki kəsilməz xətdir.»

n = 1

y = ax + b

Xətti funksiya, qrafiki düz xətdir.

n = 2

y = ax2 + bx + c

Kvadratik funksiya, qrafiki paraboladır.

Uclar yalnız baş həddən asılıdır, baş həddin «xarakteri» isə iki şeylə müəyyən olunur: n tək, yoxsa cütdür və an müsbət, yoxsa mənfidir. Dörd hal var:

n tək, an > 0

Tək dərəcə, müsbət baş əmsal: sol uc aşağı, sağ uc yuxarı (y = x³ − 3x)

x → −∞: y → −∞; x → +∞: y → +∞

Qiymətlər çoxluğu: R

n cüt, an > 0

Cüt dərəcə, müsbət baş əmsal: hər iki uc yuxarı, ən kiçik qiymət m (y = x⁴ − 3x² + x)m

x → ±∞: y → +∞

Qiymətlər çoxluğu: [m; +∞), m — ən kiçik qiymət

n tək, an < 0

Tək dərəcə, mənfi baş əmsal: sol uc yuxarı, sağ uc aşağı (y = −x³ + 3x)

x → −∞: y → +∞; x → +∞: y → −∞

Qiymətlər çoxluğu: R

n cüt, an < 0

Cüt dərəcə, mənfi baş əmsal: hər iki uc aşağı, ən böyük qiymət M (y = −x⁴ + 3x² − x)M

x → ±∞: y → −∞

Qiymətlər çoxluğu: (−∞; M], M — ən böyük qiymət

Dərslikdəki cədvəl, dəqiq qrafiklərlə. Narıncı oxlar ucların istiqamətidir. Tək dərəcədə uclar müxtəlif tərəfə, cüt dərəcədə eyni tərəfə gedir; an-ın işarəsi həmişə sağ ucun istiqamətini göstərir.

Həqiqi sıfırlar haqqında. Dərslik qeyd edir: «n təkdirsə, çoxhədlinin ən azı bir həqiqi sıfırı var, n cüt olduqda isə həqiqi sıfırı olmaya bilər.»

Səbəbi uclardadır: tək dərəcədə bir uc x oxunun altında, digəri üstündədir, kəsilməz qrafik isə bir tərəfdən o biri tərəfə yalnız x oxunu keçərək gedə bilər. Cüt dərəcədə iki uc eyni tərəfdədir və qrafik oxa heç çatmaya da bilər: məsələn, x4 + 1 həmişə 1-dən böyük və ya ona bərabərdir.

3 · Qayda

Sıfırda: kəsir, yoxsa toxunur?

Çoxhədli vuruqlara ayrılıbsa, hər (x − a) vuruğu bir sıfır verir: f(a) = 0, qrafik (a; 0) nöqtəsindən keçir. Bəs orada x oxunu keçirmi?

Qrafik kəsilməz olduğu üçün funksiyanın işarəsi yalnız sıfırlarda dəyişə bilər. Ona görə hər sıfırda bir sual veririk: bu nöqtədə işarə dəyişirmi? Dərsliyin şəklindəki f(x) = (x − 1)2(x + 2) funksiyasına baxaq.

y = (x − 1)²(x + 2) qrafiki Dəqiq qrafik. Sol ucu aşağıdan gəlir, x = −2-də x oxunu kəsir, x = −1-də 4-ə qalxır, x = 1-də x oxuna toxunub yenidən yuxarı dönür. xy2−2: kəsir1: toxunur
y = (x − 1)2(x + 2) — dərslikdəki şəkil (səh. 28, №7), dəqiq qurulub.
Vuruqların işarəsi
x < −2−2 < x < 1x > 1
x + 2−++
(x − 1)2+++
f(x)−++

−2-də (x + 2) vuruğu işarəsini dəyişir, f də dəyişir: qrafik oxu kəsir. 1-də isə (x − 1)2 sıfır olur, amma heç vaxt mənfi olmur: 1-dən solda da, sağda da f > 0. Qrafik oxa toxunub geri dönür.

Yadda saxla

«Funksiyanın qrafiki cüt sayda təkrarlanan sıfırlarda x oxuna toxunub dönür.»

Sadə (bir dəfə təkrarlanan) sıfırda isə vuruq işarəsini dəyişir və qrafik x oxunu kəsir.

Eyni işarə mühakiməsi (x − a)3 kimi tək sayda təkrarlanan vuruqlara da tətbiq olunur: belə vuruq işarəsini dəyişir, ona görə qrafik orada oxu keçir. Dərslik bu hala ayrıca baxmır; bu dərsdə də ondan istifadə etmirik.

4 · Hesabla

Dörd addımda sxematik qrafik

Dərslik çoxhədlinin sxematik qrafikini bu addımlarla qurmağı təklif edir:

  1. Qrafikin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri tapılır (əgər varsa) və koordinat müstəvisində qeyd edilir.
  2. Həqiqi sıfırlar arasında yerləşən bir neçə qiymətdə funksiyanın qiymətləri hesablanır, uyğun nöqtələr qeyd edilir.
  3. Arqumentin modulca böyük qiymətlərində qrafikin özünü necə aparması müəyyən edilir.
  4. Əldə olunan məlumatlara əsasən sxematik qrafik çəkilir.
Nümunə 1Əvvəlcə baş həddi tap

Funksiyanın ucları hara gedir? a) f(x) = 5 − 2x4 + x3; b) g(x) = 3(2 − x)(x + 1)2.

  1. a) Standart şəkildə: f(x) = −2x4 + x3 + 5. Baş hədd ilk yazılan 5 deyil, ən böyük dərəcəli həddir: n = 4 — cüt, an = −2 < 0.

    x → ±∞: f(x) → −∞; qiymətlər çoxluğu (−∞; M]

  2. b) Açmağa ehtiyac yoxdur: hər vuruqdan ən böyük dərəcəli həddi götürüb vururuq: 3 · (−x) · x2 = −3x3. n = 3 — tək, baş əmsal −3 < 0 (önündəki 3 müsbət olsa da).

    x → −∞: g(x) → +∞; x → +∞: g(x) → −∞

Nümunə 2Açılış funksiyasının qrafiki

f(x) = x3 − 4x2 − 4x + 16 funksiyasının sxematik qrafikini qurun və işarə aralıqlarını tapın.

  1. Kəsişmələr. Qruplaşdıraq: x2(x − 4) − 4(x − 4) = (x − 4)(x2 − 4) = (x + 2)(x − 2)(x − 4). Sıfırlar −2; 2; 4, nöqtələr (−2; 0), (2; 0), (4; 0). f(0) = 16, deməli (0; 16).
  2. Aradakı qiymətlər. Vuruqlu yazılışla hesablamaq asandır: f(−1) = 1 · (−3) · (−5) = 15, f(1) = 3 · (−1) · (−3) = 9, f(3) = 5 · 1 · (−1) = −5.
  3. Uclar. Baş hədd x3: n tək, an = 1 > 0, ona görə x → −∞: y → −∞; x → +∞: y → +∞.
  4. Birləşdir. Qrafik soldan aşağıdan gəlir, −2-də oxu kəsib (−1; 15), (0; 16) nöqtələrindən keçir, 2-də aşağı enir, (3; −5)-dən sonra 4-də yenidən yuxarı çıxır. Üç sadə sıfırın hər birində kəsir.

    f < 0: (−∞; −2) ∪ (2; 4); f > 0: (−2; 2) ∪ (4; +∞)

Dörd addımda qurulan qrafik Əvvəl sıfırlar −2, 2, 4 və (0; 16) nöqtəsi, sonra (−1; 15), (1; 9), (3; −5) nöqtələri, sonra ucların narıncı oxları, ən sonda bu nöqtələrdən keçən mavi əyri. xy10−10−22416159−5
Başla düyməsi qrafiki addımların sırası ilə qurur.
Nümunə 3Təkrarlanan sıfır

f(x) = x4 − x3 − 6x2 funksiyasının sxematik qrafikini qurun.

  1. x4 − x3 − 6x2 = x2(x2 − x − 6) = x2(x + 2)(x − 3). Sıfırlar: −2, 3 və 0 — iki dəfə təkrarlanır (x2). Qrafik y oxunu (0; 0)-da kəsir.
  2. f(−1) = 1 + 1 − 6 = −4, f(1) = 1 − 1 − 6 = −6, f(2) = 16 − 8 − 24 = −16.
  3. n = 4 — cüt, an = 1 > 0: hər iki uc +∞-a gedir.
  4. −2 və 3-də qrafik oxu kəsir. 0-da toxunub dönür: həm −1-də, həm 1-də qiymət mənfidir, yəni 0-ın hər iki tərəfində qrafik oxun altındadır.

    Qiymətlər çoxluğu [m; +∞), m ≤ −16

y = x⁴ − x³ − 6x² qrafiki Dəqiq qrafik. Sol ucu yuxarıdan gəlir, −2-də oxu kəsir, −1-də −4-ə enir, 0-da x oxuna aşağıdan toxunub geri dönür, 2 yaxınlığında −16-dan bir az aşağı enir, 3-də oxu kəsib yuxarı gedir. xy10−230: toxunur−4−6−16
f(2) = −16 olduğu üçün ən kiçik qiymət m −16-dan böyük ola bilməz. Onun dəqiq qiymətini bu dörd addımla tapmaq olmur.

5 · Qrafikdən oxu

Qrafikə görə düstur

İndi tərsinə gedək: qrafik verilib, çoxhədli haqqında nə deyə bilərik?

Naməlum çoxhədlinin qrafiki Qrafikin iki ucu da aşağı gedir. Qrafik x = −2-də x oxuna aşağıdan toxunub geri dönür, x = 1 və x = 3-də oxu kəsir, y oxunu −12-də kəsir, 1 ilə 3 arasında 16-dan bir az yuxarı qalxır. xy−3−12816−8−213−12
Tor xanası: x üzrə 1, y üzrə 4.
Nümunə 4Dərəcə, işarə, düstur

Çoxhədlinin dərəcəsi tək, yoxsa cütdür? Baş əmsalın işarəsi nədir? Ən azı neçə dərəcəlidir? Uyğun düstur yazın.

  1. İki uc da aşağı gedir: dərəcə cüt, baş əmsal mənfi.
  2. −2-də toxunub dönür: ən azı (x + 2)2. 1 və 3-də kəsir: (x − 1) və (x − 3).
  3. Ən kiçik dərəcə: 2 + 1 + 1 = 4.
  4. f(x) = a(x + 2)2(x − 1)(x − 3). Qrafikdə f(0) = −12: a · 4 · (−1) · (−3) = 12a = −12, a = −1. Yoxlama: f(2) = −16 · 1 · (−1) = 16, qrafikdə də belədir.

    f(x) = −(x + 2)2(x − 1)(x − 3)

6 · Diqqət

Baş hədd ilk yazılan hədd deyil

Səhv düşüncə

f(x) = 4x2 − x3: iki uc yuxarı

«İlk hədd 4x2-dir, dərəcəsi cüt, əmsalı müsbət.» Amma ilk yazılan hədd baş hədd deyil.

Düzgün

baş hədd −x3: sol uc yuxarı, sağ uc aşağı

Baş hədd ən böyük dərəcəli həddir: n = 3 tək, an = −1 < 0.

Toxunma iki dəfə sayılır

Nümunə 4-də «qrafik oxa üç yerdə çatır, deməli dərəcə ən azı 3-dür» demək səhvdir: toxunma nöqtəsi ən azı iki təkrarlanan sıfırdır, dərəcə ən azı 4-dür.

Uclar bütün qrafiki demir

«x → +∞-da y → +∞» funksiyanın hər yerdə artdığı demək deyil: Nümunə 2-dəki qrafik 2 ilə 4 arasında oxun altına enir.

7 · Həyatda

Kartondan qutu

Ölçüləri 30 sm × 16 sm olan kartonun dörd küncündən tərəfi x sm olan kvadratlar kəsilir, kənarlar yuxarı qatlanır və qapaqsız qutu alınır. Qutunun həcmi x-dən necə asılıdır və hansı x-də həcm 600 sm3 olur?

Dərslikdə də belə tapşırıq var (səh. 28, №6), amma orada qutu qapaqlıdır və kəsiklər başqa cür yerləşir. Burada ən sadə modeli — qapaqsız qutunu — və başqa ölçüləri götürürük.

Kartonun açılışı 30 sm × 16 sm düzbucaqlı. Dörd küncündən tərəfi x olan kvadratlar kəsilir. Ortadakı düzbucaqlı qutunun oturacağıdır: (30 − 2x) × (16 − 2x), hündürlük x. 30 sm16xxoturacaq(30 − 2x) × (16 − 2x)
Narıncı kvadratlar kəsilir, qırıq xətlər boyunca qatlanır. Qutunun hündürlüyü x olur.

V(x) = x(30 − 2x)(16 − 2x)       = 4x3 − 92x2 + 480x

Bu, 3-cü dərəcəli çoxhədlidir: sıfırları 0, 8 və 15. Amma qutu yalnız x > 0 və 16 − 2x > 0 olanda mövcuddur, yəni 0 < x < 8. Funksiyanın qalan hissəsi riyazi cəhətdən doğrudur, amma qutuya aid deyil.

V(x) = x(30 − 2x)(16 − 2x) qrafiki və V = 600 xətti Qrafik 0, 8 və 15-də x oxunu kəsir. 0 ilə 8 arasındakı qalın hissə qutuya uyğundur, orada qrafik 700-dən bir az yuxarı qalxır. Narıncı V = 600 xətti qrafiki x ≈ 1,86, x = 5 və x ≈ 16,14 nöqtələrində kəsir; sonuncu mənasızdır. xV815V = 6001,86516,140 < x < 8
Tor xanası: x üzrə 1 sm, V üzrə 200 sm3. V = 600 xətti qalın hissəni iki yerdə kəsir — iki fərqli qutu eyni həcmə malikdir.
HəllV(x) = 600
  1. 4x3 − 92x2 + 480x = 600, 4-ə bölək: x3 − 23x2 + 120x − 150 = 0.
  2. Qrafik x = 5 yaxınlığını göstərir, 5 həm də 150-nin bölənidir. Sintetik bölmə:
    x − 5-ə sintetik bölmə
    51−23120−150
    5−90150
    1−18300
    Qalıq 0: (x − 5)(x2 − 18x + 30) = 0.
  3. x2 − 18x + 30 = 0: x = 9 ± √51, yəni x ≈ 1,86 və x ≈ 16,14. 16,14 > 8 — belə qutu yoxdur (30 − 2x mənfi olur).

    x = 5 sm (qutu 20 × 6 × 5) və ya x = 9 − √51 ≈ 1,86 sm

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

  1. Asan

    f(x) = 1 + 2x4 − 3x5 funksiyasının qrafikinin ucları hara gedir?

    Cavab variantları

    Düzdür! Baş hədd −3x5: tək dərəcə, mənfi əmsal.

    Baş həddi tap: ən böyük dərəcə 5-dir, əmsalı −3.

    Həllə bax

    Baş hədd −3x5: n = 5 tək, an = −3 < 0. Sol uc yuxarı (+∞), sağ uc aşağı (−∞). 2x4 uzaqda −3x5-in yanında hiss olunmur.

  2. Asan

    Hansı funksiyanın qrafiki x oxunu mütləq kəsir?

    Cavab variantları

    Əla! Tək dərəcəli çoxhədlinin ən azı bir həqiqi sıfırı var.

    Cüt dərəcəli çoxhədlinin həqiqi sıfırı olmaya bilər. Dərəcəyə bax.

    Həllə bax

    x3 + x2 + 5-in dərəcəsi tək: sol uc −∞-a, sağ uc +∞-a gedir və kəsilməz qrafik x oxunu keçməlidir. Qalan üçü cüt dərəcəlidir və hər biri həmişə müsbətdir, x oxuna çatmır.

  3. Orta

    f(x) = (x − 2)2(x + 3) funksiyasının qrafiki haqqında hansı doğrudur?

    Cavab variantları

    Düzdür! 2 iki dəfə təkrarlanır.

    Hansı vuruq kvadratdadır? Cüt sayda təkrarlanan sıfırda qrafik toxunub dönür.

    Həllə bax

    (x − 2)2 2-də işarəsini dəyişmir — qrafik toxunub dönür. (x + 3) −3-də işarəsini dəyişir — qrafik kəsir.

  4. Orta

    (x + 1)(x − 2)(x − 5) > 0 bərabərsizliyinin həllər çoxluğu hansıdır?

    Cavab variantları

    Əla! Sağ uc +∞-dadır, hər sadə sıfırda işarə dəyişir.

    Sağdan başla: x > 5-də hər üç vuruq müsbətdir. Sonra hər sıfırda işarə dəyişir.

    Həllə bax

    Baş hədd x3, sağ uc yuxarıda: (5; +∞)-da f > 0. Sıfırlar sadədir, işarə hər birində dəyişir: (2; 5)-də −, (−1; 2)-də +, (−∞; −1)-də −. Cavab: (−1; 2) ∪ (5; +∞).

  5. Çətin

    Çoxhədlinin qrafiki şəkildə verilib. O, ən azı neçə dərəcəlidir?

    Qrafik Sol ucu aşağıdan gəlir, x = −3-də oxu kəsib qalxır, x = −2-də yenidən kəsib enir, x = 0-da oxa aşağıdan toxunub geri dönür, x = 2-də oxu kəsib yuxarı gedir. xy−3−2O12
    Cavab variantları

    Düzdür! 1 + 1 + 2 + 1 = 5.

    Hər kəsişmə ən azı 1, hər toxunma ən azı 2 sıfır verir. Uclara da bax.

    Həllə bax

    −3, −2 və 2-də qrafik kəsir (hər biri ən azı 1), 0-da toxunub dönür (ən azı 2). Cəmi ən azı 1 + 1 + 2 + 1 = 5. Uclar müxtəlif tərəfə gedir — dərəcə tək olmalıdır, 5 buna uyğundur.

  6. Çətin

    3-cü dərəcəli çoxhədlinin qrafiki x oxunu −1, 2 və 4 nöqtələrində, y oxunu (0; −8) nöqtəsində kəsir. Bu hansı funksiyadır?

    Cavab variantları

    Əla! Sıfırlar düzdür və f(0) = −8.

    İki şeyi yoxla: sıfırlar −1, 2, 4 olsun (vuruq x − a), sonra f(0) = −8.

    Həllə bax

    Sıfırlar −1, 2, 4: f(x) = a(x + 1)(x − 2)(x − 4). f(0) = a · 1 · (−2) · (−4) = 8a = −8, a = −1. (x − 1)(x + 2)(x + 4) üçün də f(0) = −8 alınır, amma onun sıfırları 1, −2, −4-dür.

Xülasə

Yadda qalanlar

  • Uclar — baş həddn tək — uclar müxtəlif tərəfə, n cüt — eyni tərəfə gedir; an-ın işarəsi sağ ucun istiqamətidir.
  • Kəsir və ya toxunurSadə sıfırda qrafik x oxunu kəsir, cüt sayda təkrarlanan sıfırda toxunub dönür.
  • Dörd addımKəsişmələr → sıfırlar arasında qiymətlər → uclar → nöqtələri birləşdir.

Növbəti mövzu: 6.8 Rasional funksiya